El depósito parabólico de la bodega
Una bodega de Ribera del Duero diseña un depósito de agua para limpieza. La sección longitudinal, medida en metros, es la región limitada por la parábola y = 4 - x² y el eje y = 0, entre x = -2 y x = 2. El depósito es prismático: se obtiene desplazando esa sección una longitud L a lo largo de su eje, de modo que su volumen es área de la sección por L. El fabricante ofrece un módulo de 12 m y otro de 18 m. El primero cabe sin obras; el segundo exige reforzar el suelo, con un coste de 4.500 €. El enólogo insiste en que se necesitan al menos 180 m³ para una vendimia; el aparejador duda de que el módulo de 12 m llegue y advierte que la profundidad media no debe superar 3 m por seguridad estructural. Se pide calcular el área de la sección, el volumen de cada módulo, la profundidad media y decidir si conviene el módulo grande o pedir una longitud intermedia.
1. Calcula el área de la sección parabólica y la profundidad media de la sección.
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El área encerrada entre la parábola y el eje y = 0 es: A = ∫ desde -2 hasta 2 de (4 - x²) dx = [4x - x³/3] desde -2 hasta 2. En x = 2: 8 - 8/3 = 16/3. En x = -2: -8 + 8/3 = -16/3. La diferencia es 16/3 - (-16/3) = 32/3 ≈ 10,67 m². La anchura total es 4 m, así que la profundidad media es A/4 = (32/3)/4 = 8/3 ≈ 2,67 m. Está por debajo de 3 m, luego la sección cumple la advertencia estructural.
2. Calcula el volumen de los módulos de 12 m y 18 m y compáralos con la necesidad de 180 m³.
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El volumen es área por longitud. Para L = 12 m: V = (32/3)·12 = 128 m³. Para L = 18 m: V = (32/3)·18 = 192 m³. El módulo de 12 m no alcanza los 180 m³: faltan 52 m³. El módulo de 18 m sí los supera, con un margen de 12 m³. La profundidad media no cambia al alargar el módulo, porque la sección es la misma; sigue siendo 8/3 ≈ 2,67 m, inferior a 3 m.
3. Decide si conviene el módulo de 18 m o una longitud intermedia, teniendo en cuenta el coste de 4.500 € y el riesgo de quedarse corto.
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El módulo de 18 m es el único de los dos que garantiza los 180 m³. Si se elige el de 12 m, el déficit es 52 m³ y habría que buscar otra fuente o ampliar, con un riesgo claro para la vendimia. La longitud mínima que cumple exactamente la necesidad es L = 180/(32/3) = 180·3/32 = 16,875 m. Un módulo de 17 m daría 181,33 m³ y podría ser suficiente; si el fabricante lo ofrece, puede ahorrar parte del coste de obra frente al de 18 m. La decisión económica debe comparar los 4.500 € con el coste de no cubrir la demanda. Si el coste de una parada por falta de agua supera 4.500 €, conviene el módulo grande; si no, una longitud intermedia de 17 m es una alternativa razonable. Lo que no es defendible es elegir el de 12 m confiando en que “casi llega”.