Dos líneas de producción y dos defectos en una muestra pequeña
Una planta de componentes de automoción en Burgos tiene dos líneas. La línea A fabrica el 60% de las piezas y la B el 40%. El porcentaje de piezas defectuosas es del 2% en A y del 5% en B. El jefe de calidad recibe una pieza defectuosa y quiere saber de qué línea es más probable que proceda. Además, se toma una muestra de 20 piezas de la línea A y se encuentran 2 defectuosas. La dirección ha fijado que se revisará la línea si la probabilidad de obtener 2 o más defectuosas en una muestra de 20, suponiendo que el proceso está bajo control, es menor que 0,05. El jefe de calidad afirma que dos defectos son motivo suficiente para parar; la ingeniera de procesos sospecha que no, porque el 2% es pequeño pero la muestra también. Se pide evaluar ambas afirmaciones y decidir. También se plantea repetir el análisis con una muestra de 10 piezas para comparar la información que aporta el mismo número de defectos.
1. Calcula la probabilidad de que una pieza defectuosa proceda de la línea A y de la línea B. ¿Qué línea es más probable?
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Sea D el suceso de que una pieza sea defectuosa. Por la regla de la probabilidad total: P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,60·0,02 + 0,40·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Por Bayes: P(A|D) = 0,012/0,032 = 0,375. P(B|D) = 0,020/0,032 = 0,625. Es más probable que la pieza defectuosa proceda de la línea B, aunque B fabrica menos piezas, porque su tasa de defectos es más del doble que la de A. Este resultado es el tipo de conclusión que sorprende si solo se mira el porcentaje de producción.
2. Calcula la probabilidad de obtener 2 o más defectuosas en una muestra de 20 piezas de A suponiendo que el proceso está bajo control. Decide si se debe revisar la línea según el criterio fijado.
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Sea X el número de defectuosas en 20 piezas de A. Bajo control, X sigue una distribución binomial con n = 20 y p = 0,02. P(X = 0) = 0,98^20 ≈ 0,6676. P(X = 1) = 20·0,02·0,98^19 ≈ 0,2725. P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) ≈ 1 - 0,6676 - 0,2725 = 0,0599. Como 0,0599 > 0,05, el criterio fijado no se cumple. Dos defectuosas en 20 no son evidencia suficiente para revisar la línea. La afirmación del jefe de calidad es demasiado rotunda: el resultado es algo más probable de lo que parece a simple vista cuando el proceso está bajo control.
3. Repite el cálculo para una muestra de 10 piezas y explica cómo cambia la decisión y qué enseña sobre el tamaño de muestra.
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Con n = 10 y p = 0,02: P(X = 0) = 0,98^10 ≈ 0,8171. P(X = 1) = 10·0,02·0,98^9 ≈ 0,1667. P(X ≥ 2) ≈ 1 - 0,8171 - 0,1667 = 0,0162. Ahora 0,0162 < 0,05, así que con una muestra de 10 sí se revisaría la línea al observar 2 defectuosas. El mismo número absoluto de defectos es mucho más informativo en una muestra pequeña, porque bajo control era poco probable. Esto enseña que el criterio de parada debe fijarse antes de tomar la muestra y que no se puede comparar directamente 2 defectos en 10 con 2 defectos en 20. La conclusión práctica es que la línea A no debe pararse con los datos de 20 piezas, pero sí merece una inspección si se confirma el resultado en una muestra menor o si se repite el patrón.