Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
El bloque de Álgebra de la PAU de Matemáticas II en Castilla y León plantea casi siempre un sistema de ecuaciones con un parámetro y, con frecuencia, una ecuación matricial o una discusión de rangos. Lo que se evalúa es el manejo fino de los determinantes, la eliminación de Gauss y la interpretación del rango, no la mecánica aislada de las operaciones.
Operaciones y ecuaciones matriciales
El producto no es conmutativo, así que al despejar hay que multiplicar siempre por el mismo lado: si AX = B y A es invertible, X = A⁻¹B; si la ecuación es XA = B, entonces X = BA⁻¹. Recuerda que (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ y que A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A), de modo que la inversa solo existe si det(A) ≠ 0. Para potencias Aⁿ conviene calcular A², A³ y detectar la pauta, o comprobar si la matriz es nilpotente.
Determinantes y rango
det(AB) = det(A)·det(B), det(Aᵀ) = det(A), det(A⁻¹) = 1/det(A) y det(kA) = kⁿ·det(A) en una matriz n×n. Cambiar dos filas cambia el signo; sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el determinante; dos filas proporcionales o una fila nula lo anulan. El rango es el orden del mayor menor no nulo y también el número de pivotes no nulos tras escalonar, que suele ser más rápido que calcular menores 3×3.
Rouché–Capelli y Cramer
El sistema es compatible si rango(A) = rango(A|b); es determinado si ese rango coincide con el número de incógnitas e indeterminado si es menor, en cuyo caso hay que expresar la solución con parámetros. Un sistema homogéneo es siempre compatible y admite soluciones no triviales exactamente cuando rango(A) < n. Si det(A) ≠ 0, Cramer da xᵢ = det(Aᵢ)/det(A).
Ejemplo resuelto
Sistema: x+y+z = 1; x+y+az = 1; x+ay+z = 1. El determinante de la matriz de coeficientes es -(a-1)². Si a ≠ 1, det ≠ 0 y el sistema es compatible determinado; por Cramer, x = 1, y = 0, z = 0. Si a = 1 las tres ecuaciones se reducen a x+y+z = 1, el rango es 1 y el sistema es indeterminado con solución (1-λ-μ, λ, μ).
Errores que cuestan puntos
- Dividir por (a-1) sin discutir el caso a = 1, que es justo donde se pierde el ejercicio.
- Aplicar Cramer o la inversa cuando el determinante es nulo.
- Calcular el rango de A olvidando la columna ampliada.
- Escribir (A+B)² = A²+2AB+B², falso salvo que A y B conmuten.
- Usar det(kA) = k·det(A) en lugar de kⁿ·det(A).