Geometría analítica en el espacio tridimensional
La geometría del espacio aporta en la PAU de Castilla y León un problema con un plano, una recta y un parámetro, en el que se piden posiciones relativas, un ángulo, una distancia o un punto simétrico. El dominio de los tres productos (escalar, vectorial y mixto) resuelve la mayor parte del ejercicio en pocas líneas.
Vectores: escalar, vectorial y mixto
El producto escalar u·v = |u||v|cos α mide perpendicularidad (u·v = 0) y ángulos. El producto vectorial u×v es perpendicular a ambos, su módulo es el área del paralelogramo que determinan y se anula cuando son proporcionales. El producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) da el volumen del paralelepípedo y vale cero si y solo si los tres vectores son coplanarios, lo que comprueba en una línea si cuatro puntos están en un mismo plano.
Rectas y planos
Una recta es un punto más un vector director, escrita en forma paramétrica, continua o implícita (dos planos que se cortan). Un plano es ax+by+cz+d = 0 con vector normal (a,b,c); se determina con un punto y dos direcciones, con tres puntos, o con un punto y una normal. Posiciones relativas: dos rectas se cruzan si d₁×d₂ ≠ 0 y el vector entre sus puntos no es combinación de las direcciones; recta y plano son paralelos si d·n = 0 (contenidos si además el punto pertenece al plano); dos planos son paralelos si sus normales son proporcionales, y coincidentes si también lo es el término independiente.
Ángulos y distancias
Ángulo entre rectas: cos α = |d₁·d₂|/(|d₁||d₂|). Ángulo entre recta y plano: sen α = |d·n|/(|d||n|). Ángulo entre planos: el de sus normales. Distancia punto-plano: |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Distancia punto-recta: |AP×d|/|d|. Distancia entre rectas que se cruzan: |[AP,d₁,d₂]|/|d₁×d₂|. Para el simétrico de un punto, proyéctalo sobre el plano o la recta y duplica el vector de proyección.
Ejemplo resuelto
Recta r: (x,y,z) = (1,0,2)+t(1,-1,2) y punto P(2,1,1). Con A(1,0,2), AP = (1,1,-1); AP×d = (1,-3,-2), de módulo √14, y |d| = √6. Por tanto d(P,r) = √14/√6 = √21/3 ≈ 1,53 unidades.
Errores frecuentes
- Interpretar d·n = 0 como perpendicularidad entre recta y plano: en realidad es paralelismo.
- Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia.
- Usar el vector director donde hace falta la normal (o al revés).
- Confundir planos paralelos con coincidentes por no comparar el término independiente.
- Aplicar la fórmula de distancia entre rectas sin comprobar antes que se cruzan.