Límites, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable
En la PAU de Castilla y León este bloque aparece casi siempre con una función definida a trozos y dos parámetros: primero se impone la continuidad en el punto de unión y después la igualdad de las derivadas laterales. La otra pregunta suele pedir un límite con indeterminación, un estudio de monotonía, una optimización o la aplicación de Rolle o del teorema del valor medio.
Límites e indeterminaciones
L'Hôpital solo es válido en las formas 0/0 e ∞/∞; en 1^∞, 0·∞ o ∞-∞ hay que transformar antes (logaritmos, conjugado, paso a cociente). Antes de derivar conviene usar infinitésimos equivalentes cuando x→0: sen x ~ x, 1-cos x ~ x²/2, tan x ~ x, ln(1+x) ~ x, eˣ-1 ~ x. Para la indeterminación 1^∞, si f→1 y g→∞ entonces f^g → e^{lim (f-1)g}. El límite existe solo si coinciden los laterales.
Continuidad, derivabilidad y teoremas
f es continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden; las discontinuidades se clasifican en evitable, de salto finito y de salto infinito. La derivada es f'(a) = limh→0/h; derivable implica continua, pero no al contrario (|x| en 0). En funciones a trozos el orden es obligatorio: continuidad en el punto y después igualar las derivadas laterales calculadas con la regla de cada trozo. Rolle exige continuidad en [a,b], derivabilidad en (a,b) y f(a) = f(b); el teorema del valor medio afirma que existe c con f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).
Monotonía, extremos y optimización
El signo de f' da crecimiento y decrecimiento; un cambio de + a - produce un máximo relativo. El signo de f'' da concavidad y convexidad. En optimización, escribe la función objetivo con una sola variable usando la ligadura y comprueba los extremos en el dominio físico del problema.
Ejemplo resuelto
f(x) = x²+ax+b si x ≤ 1; f(x) = ln x si x > 1. Continuidad en x = 1: 1+a+b = ln 1 = 0. Derivadas laterales: por la izquierda 2x+a → 2+a; por la derecha 1/x → 1, luego a = -1 y b = 0. Resultado: f(x) = x²-x para x ≤ 1, derivable en x = 1.
Errores frecuentes
- Aplicar L'Hôpital fuera de 0/0 o ∞/∞.
- Derivar cada trozo y evaluar en el punto sin haber comprobado antes la continuidad.
- Confundir no derivable con discontinua.
- Citar Rolle sin justificar las tres hipótesis.
- No escribir los límites laterales, que es lo que se puntúa.