Cálculo integral y aplicaciones
El bloque de integración de la PAU de Castilla y León suele pedir el cálculo de una primitiva (por partes, por cambio de variable o racional) y, a continuación, un área encerrada entre curvas o un volumen de revolución. El error más caro no es integrar mal, sino plantear mal el recinto o no dividirlo cuando las curvas se cruzan.
Cálculo de primitivas
Además de las inmediatas y la linealidad, hay tres técnicas que cubren casi todo: cambio de variable (en la integral definida hay que cambiar también los límites), integración por partes ∫u dv = uv - ∫v du, eligiendo como u lo que se simplifica al derivar (logaritmos, arcos, polinomios), y descomposición en fracciones simples para funciones racionales, dividiendo antes si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador. Con raíces complejas se completa el cuadrado y aparecen logaritmos y arcotangentes. En trigonométricas, usa identidades como sen²x = (1-cos 2x)/2.
Integral definida
Regla de Barrow: ∫ₐᵇ f = F(b)-F(a) con F primitiva de f y continua en [a,b]. Propiedades: linealidad, ∫ₐᵃ = 0, aditividad respecto del intervalo y cambio de signo al invertir los límites. Si la función lleva valor absoluto o está definida a trozos, hay que partir el intervalo.
Aplicaciones
El área entre dos curvas es ∫ₐᵇ|f-g| dx, calculando antes los puntos de corte y dividiendo el recinto si las curvas se cruzan. El volumen de revolución alrededor del eje x es V = π∫ₐᵇ f(x)² dx; alrededor del eje y, por capas cilíndricas, V = 2π∫ x f(x) dx. El valor medio de f en [a,b] es (1/(b-a))∫ₐᵇ f.
Ejemplo resuelto
Área encerrada por y = x² y y = x+2. Los cortes son x² = x+2, es decir x = -1 y x = 2. Área = ∫₋₁² (x+2-x²) dx = [x²/2+2x-x³/3]₋₁² = 10/3-(-7/6) = 9/2 unidades cuadradas, que es positiva porque en todo el intervalo la recta va por encima de la parábola.
Errores frecuentes
- Olvidar cambiar los límites al hacer un cambio de variable en una integral definida.
- No dividir el recinto cuando las curvas se cruzan o hay un valor absoluto.
- Olvidar el cuadrado de f o el factor π en el volumen.
- Dar un área con signo negativo.
- Confundir primitiva (lleva +C) con integral definida (no lo lleva).