Probabilidad y estadística
En la PAU de Castilla y León el bloque de probabilidad plantea normalmente un problema de probabilidad condicionada con probabilidades totales y Bayes, a veces con combinatoria previa, y otro con una distribución binomial o normal, incluyendo la aproximación de la binomial por la normal y el manejo de la tabla tipificada.
Combinatoria
Variaciones (importa el orden, sin repetición) V(n,r) = n!/(n-r)!; permutaciones P(n) = n!; combinaciones (no importa el orden) C(n,r) = n!/(r!(n-r)!). Con repetición, VR(n,r) = n^r y CR(n,r) = C(n+r-1, r). La pregunta clave antes de calcular es siempre si importa el orden y si hay repetición.
Probabilidad y condicionada
P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B). Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), con P(B) > 0. A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)P(B), lo que equivale a P(A|B) = P(A). Teorema de la probabilidad total: P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) para una partición. Teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B). Un árbol de probabilidades bien etiquetado evita casi todos los errores.
Distribuciones
Binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k)p^k q^{n-k}, con media np y varianza npq; exige n pruebas independientes y probabilidad constante. Normal N(μ,σ): se tipifica z = (x-μ)/σ y se usa la tabla de Φ, con Φ(-z) = 1-Φ(z). La aproximación binomial-normal requiere np > 5 y nq > 5 y corrección de continuidad (P(X ≤ k) ≈ Φ((k+0,5-np)/√(npq))).
Ejemplo resuelto
Una máquina A produce el 60 % de las piezas y B el 40 %; los porcentajes de defectuosas son 2 % y 5 %. Dado que una pieza es defectuosa, P(B|D) = (0,4·0,05)/(0,6·0,02+0,4·0,05) = 0,02/0,032 = 0,625: el 62,5 % de las defectuosas vienen de B, aunque A fabrique más piezas.
Errores frecuentes
- Invertir la condicional y calcular P(B|D) cuando se pide P(D|B).
- Sumar probabilidades de sucesos no incompatibles sin restar la intersección.
- Usar la binomial en extracciones sin reemplazamiento.
- Olvidar tipificar o no aprovechar la simetría Φ(-z) = 1-Φ(z).
- Omitir la corrección de continuidad al aproximar la binomial.
Nota final
Confundir independencia con incompatibilidad sigue siendo el error conceptual más frecuente: dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes.