Rosetón cerámico: tercera circunferencia tangente y lugar geométrico de centros
Un taller de cerámica encarga el trazado geométrico de un rosetón para un plafón de 300 × 300 mm. El diseño parte de dos circunferencias: C1, de 30 mm de radio y centro O1 en el centro del plafón, y C2, de 12 mm de radio, con centro O2 sobre la horizontal de O1 y a 45 mm a su derecha (las dos circunferencias no se tocan). El ceramista quiere añadir una tercera circunferencia C3 de 18 mm de radio, tangente exterior a C1 y a C2, situada por encima del eje horizontal. Además, el cliente ha pedido rellenar el hueco entre C1 y C2 con una familia de circunferencias tangentes exteriores a ambas y pregunta si alguna de ellas podría ir alojada dentro de C1, sin salirse. El delineante trabaja con compás, regla y calculadora, y debe justificar cada paso porque el trazado se replicará después con una plantilla metálica y se comprobará numéricamente.
1. Determinar si existe la circunferencia C3 (r = 18 mm) tangente exterior a C1 y a C2, y en su caso localizar su centro con precisión de 0,1 mm. Explicar la construcción y por qué hay dos soluciones.
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Condiciones de tangencia exterior. Si C3 es tangente exterior a C1 y a C2, su centro O3 debe cumplir:
- |O1O3| = r1 + r3 = 30 + 18 = 48 mm
- |O2O3| = r2 + r3 = 12 + 18 = 30 mm
Es decir, O3 es la intersección de dos arcos de radio 48 (centro O1) y 30 (centro O2), con O1O2 = 45 mm.
Existencia. En el triángulo O1O2O3 los lados son 45, 48 y 30. Se cumple 48 < 45 + 30 = 75 y 48 > 45 − 30 = 15, luego hay dos soluciones simétricas respecto del eje O1O2: una por encima y otra por debajo. La que interesa es la superior.
Cálculo. Proyectando sobre O1O2:
x = (d² + 48² − 30²) / (2d) = (2025 + 2304 − 900) / 90 = 3429 / 90 = 38,1 mm
y = √(48² − 38,1²) = √(2304 − 1451,61) = √852,39 = 29,2 mm
Comprobación: √((45 − 38,1)² + 29,2²) = √(47,61 + 852,64) = √900,25 ≈ 30,0 mm.
Construcción con compás: arco de 48 mm desde O1, arco de 30 mm desde O2; la intersección superior es O3. Los puntos de tangencia no se eligen a ojo: están sobre las rectas O1O3 y O2O3, a 30 mm y 12 mm de O1 y O2 respectivamente.
2. Identificar la cónica que describe el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias tangentes exteriores a C1 y C2, calcular sus elementos (focos, semiejes, excentricidad, vértice) y deducir el radio mínimo posible.
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Deducción. Para cualquier circunferencia de radio r tangente exterior a C1 y C2:
|O1O3| − |O2O3| = (30 + r) − (12 + r) = 18 mm = constante
Una diferencia de distancias a dos puntos fijos constante define una hipérbola cuyos focos son O1 y O2. Como la distancia a O1 es mayor, la rama válida es la que rodea a O2.
Elementos:
- 2a = 18 → a = 9 mm
- 2c = O1O2 = 45 → c = 22,5 mm
- b² = c² − a² = 506,25 − 81 = 425,25 → b ≈ 20,6 mm
- Excentricidad e = c/a = 22,5 / 9 = 2,5
- Pendiente de las asíntotas: b/a ≈ 2,29
- Vértice de la rama: sobre O1O2 a c + a = 22,5 + 9 = 31,5 mm de O1
Radio mínimo. En el vértice, |O1O3| = 31,5 mm, luego r = 31,5 − 30 = 1,5 mm. Coincide con la comprobación directa: la separación libre entre C1 y C2 es 45 − (30 + 12) = 3 mm, de modo que la circunferencia más pequeña que cabe en el hueco tiene 1,5 mm de radio. Las circunferencias de la familia crecen indefinidamente y sus centros se alejan por la rama de la hipérbola acercándose a las asíntotas.
3. El cliente insiste en alojar una circunferencia dentro de C1 que sea tangente exterior a C2. Demostrar razonadamente si es posible y explicar qué cónica fallaría.
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No es posible. Si la circunferencia buscada, de radio r, es interior a C1 y tangente interior a ella:
|O1O3| = 30 − r
Si además es tangente exterior a C2:
|O2O3| = 12 + r
Sumando: |O1O3| + |O2O3| = 42 mm, constante. Una suma constante de distancias a dos focos define una elipse de focos O1 y O2 con 2a = 42, es decir a = 21 mm, mientras que la semidistancia focal es c = 22,5 mm.
La elipse exige a ≥ c; aquí 21 < 22,5, luego no existe elipse real y el lugar geométrico es vacío.
Interpretación geométrica directa: cualquier punto interior o perteneciente a C1 está como mínimo a 45 − 30 = 15 mm de O2, pero la tangencia exterior pediría |O2O3| = 12 + r con r ≤ 30, y además el triángulo O1O2O3 tendría lados (30 − r), (12 + r) y 45, con suma de los dos menores 42 < 45: se viola la desigualdad triangular. La solución correcta es, por tanto, sustituir el requisito por una tangencia exterior a C1, que devuelve el problema a la rama de hipérbola calculada antes.