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Castilla-La Mancha PAU Technical Drawing Applied to Plastic Arts and Design II (Dibujo Técnico Aplicado a las Artes Plásticas y al Diseño II - UCLM 2026) study materials
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Castilla-La Mancha PAU Technical Drawing Applied to Plastic Arts and Design II (Dibujo Técnico Aplicado a las Artes Plásticas y al Diseño II - UCLM 2026) practice questions

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Question 1Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un triángulo, el punto donde se cortan las tres mediatrices de sus lados recibe el nombre de:

  1. Baricentro
  2. Ortocentro
  3. Incentro
  4. Circuncentro Correct answer.

Explanation

Las mediatrices de los lados son perpendiculares a cada lado por su punto medio, y su intersección equidista de los tres vértices, por lo que es el centro de la circunferencia circunscrita: el circuncentro. El incentro se obtiene con las bisectrices, el baricentro con las medianas y el ortocentro con las alturas.

Question 2Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al dividir una circunferencia en 8 partes iguales mediante el método de los diámetros perpendiculares y bisectrices sucesivas, ¿cuánto mide cada arco central resultante?

  1. 30°
  2. 72°
  3. 60°
  4. 45° Correct answer.

Explanation

La circunferencia completa mide 360°, de modo que al dividirla en 8 arcos iguales cada uno abarca 360°/8 = 45°. Este valor coincide con el ángulo central que subtiende cada lado del octógono regular inscrito.

Question 3Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

La recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos cumple que:

  1. Es perpendicular al radio trazado hasta ese punto de tangencia Correct answer.
  2. Forma siempre un ángulo de 45° con el radio
  3. Es paralela al radio trazado hasta ese punto de tangencia
  4. Pasa necesariamente por el centro de la circunferencia

Explanation

La propiedad fundamental de la tangencia establece que el radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Esta condición es la base de todos los trazados de tangencias con circunferencias.

Question 4Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse, la suma de las distancias desde cualquier punto de la curva a los dos focos es constante e igual a:

  1. La longitud del eje menor
  2. La longitud del eje mayor Correct answer.
  3. La distancia focal
  4. La semidistancia focal

Explanation

La definición focal de la elipse establece que la suma de distancias a los focos equivale al eje mayor 2a. El eje menor y la distancia focal se relacionan con este mediante la relación a² = b² + c².

Question 5Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

¿Qué curva cónica se genera como lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (directriz) y de un punto fijo (foco)?

  1. Elipse
  2. Hipérbola
  3. Circunferencia
  4. Parábola Correct answer.

Explanation

La parábola se define por la igualdad de distancias al foco y a la directriz, siendo su excentricidad igual a 1. En la elipse la distancia al foco es menor que a la directriz y en la hipérbola es mayor.

Question 6Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

El arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo de 90° es:

  1. Un arco de circunferencia de radio AB
  2. Una recta perpendicular a AB por su punto medio
  3. Un cuarto de circunferencia con centro en A
  4. Una semicircunferencia de diámetro AB Correct answer.

Explanation

El arco capaz de 90° corresponde a la semicircunferencia cuyo diámetro es el segmento AB, ya que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. El centro se sitúa en el punto medio de AB.

Question 7Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un pentágono regular inscrito en una circunferencia, el ángulo central que abarca cada lado mide:

  1. 72° Correct answer.
  2. 60°
  3. 108°
  4. 90°

Explanation

El ángulo central de un polígono regular inscrito se obtiene dividiendo 360° entre el número de lados: 360°/5 = 72°. Este valor no debe confundirse con el ángulo interior del pentágono.

Question 8Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él se denomina:

  1. Bisectriz
  2. Altura
  3. Mediatriz Correct answer.
  4. Mediana

Explanation

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento, y se traza perpendicular por su punto medio. La bisectriz divide un ángulo, la altura es perpendicular a un lado desde el vértice opuesto y la mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Question 9Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dada una circunferencia de radio 5 cm, se traza desde un punto exterior P una recta tangente cuyo punto de tangencia T forma con el centro O un radio perpendicular a la tangente. Si OP mide 13 cm, ¿cuánto mide el segmento PT?

  1. 12 cm Correct answer.
  2. 8 cm
  3. 18 cm
  4. √194 cm

Explanation

El triángulo OTP es rectángulo en T, con hipotenusa OP = 13 y cateto OT = 5. Aplicando Pitágoras, PT = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. La perpendicularidad entre radio y tangente permite este cálculo directo.

Question 10Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Para trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto T de la misma, el procedimiento correcto es:

  1. Trazar el radio OT y por T una recta paralela al radio
  2. Unir T con el centro y prolongar esa recta
  3. Trazar el radio OT y levantar por T la perpendicular a dicho radio Correct answer.
  4. Trazar por T una recta que forme 30° con el radio

Explanation

La tangente en un punto es perpendicular al radio que llega a ese punto, por lo que se traza el radio OT y se levanta la perpendicular por T. Cualquier otro ángulo produciría una recta secante o exterior.

Question 11Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola de semieje real a y semieje imaginario b, las asíntotas pasan por el centro y tienen una pendiente cuyo valor absoluto es:

  1. a+b
  2. a/b
  3. b/a Correct answer.
  4. a·b

Explanation

Las asíntotas de la hipérbola x²/a² − y²/b² = 1 son las rectas y = ±(b/a)x, de modo que su pendiente es b/a. El rectángulo fundamental de lados 2a y 2b determina estas asíntotas por sus diagonales.

Question 12Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al construir un óvalo isométrico dado el eje mayor, los arcos de circunferencia que forman los extremos se trazan con centros situados en:

  1. Los focos de una elipse auxiliar
  2. Los extremos del eje menor Correct answer.
  3. El centro del óvalo
  4. Los extremos del eje mayor

Explanation

En el óvalo isométrico, los arcos mayores tienen centro en los extremos del eje menor y los arcos menores se centran en puntos del eje mayor. Este trazado aproxima la elipse isométrica mediante cuatro arcos de circunferencia.

Question 13Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

El eje radical de dos circunferencias secantes es:

  1. La recta que pasa por sus dos puntos de intersección Correct answer.
  2. La recta que une sus centros
  3. Cualquier tangente común exterior
  4. La perpendicular a la línea de centros por uno de los centros

Explanation

El eje radical es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a ambas circunferencias y, cuando son secantes, coincide con la recta que une los dos puntos de corte. Es perpendicular a la línea de centros.

Question 14Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se desea inscribir un cuadrado en una circunferencia de radio R. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

  1. R√3
  2. 2R
  3. R√2 Correct answer.
  4. R/√2

Explanation

La diagonal del cuadrado inscrito coincide con el diámetro 2R, y en un cuadrado la diagonal es el lado multiplicado por √2. Por tanto, el lado vale 2R/√2 = R√2.

Question 15Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Una recta es tangente a una parábola cuando:

  1. La corta en un único punto doble Correct answer.
  2. Pasa por el vértice y por el foco
  3. La corta en dos puntos simétricos respecto al eje
  4. Es paralela al eje de la parábola

Explanation

La tangencia en una cónica implica intersección con multiplicidad doble, es decir, un único punto doble. Una recta paralela al eje corta la parábola en un solo punto finito, pero no es tangente porque además la corta en el infinito.

Question 16Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En la construcción del óvalo dado el eje mayor AB, el primer paso consiste en dividir el eje mayor en:

  1. Cinco partes iguales
  2. Tres partes iguales Correct answer.
  3. Cuatro partes iguales
  4. Dos partes iguales y trazar la mediatriz

Explanation

En el óvalo a partir del eje mayor, este se divide en tres partes iguales para localizar los centros de los arcos menores. Después se trazan circunferencias auxiliares para determinar los centros de los arcos mayores.

Question 17Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al unir los puntos medios de los lados de un triángulo cualquiera se obtiene:

  1. Un triángulo equilátero siempre
  2. Un triángulo semejante al original de razón 1/2 Correct answer.
  3. Un triángulo rectángulo siempre
  4. Un triángulo congruente al original

Explanation

El triángulo medial tiene lados paralelos a los del original y de longitud mitad, por el teorema de la paralela media. Por tanto es semejante con razón 1/2 y área una cuarta parte.

Question 18Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Para trazar las tangentes exteriores comunes a dos circunferencias de radios desiguales, se construye una circunferencia auxiliar con centro en el de mayor radio y radio igual a:

  1. El doble del radio menor
  2. La diferencia de los radios Correct answer.
  3. La suma de los radios
  4. La distancia entre centros

Explanation

Las tangentes exteriores se obtienen restando los radios: se traza una circunferencia auxiliar de radio R − r y se hallan sus tangentes desde el centro de la menor. Para las interiores se usa la suma R + r.

Question 19Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

La excentricidad de una elipse se define como e = c/a y cumple que:

  1. 0 ≤ e < 1 Correct answer.
  2. e < 0
  3. e > 1
  4. e = 1

Explanation

En la elipse la semidistancia focal c es menor que el semieje mayor a, por lo que la excentricidad queda entre 0 y 1. Cuando e = 0 la elipse degenera en circunferencia y cuando tiende a 1 se aplana.

Question 20Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con:

  1. El incentro del triángulo
  2. El vértice del ángulo recto Correct answer.
  3. El punto medio de la hipotenusa
  4. El baricentro del triángulo

Explanation

En un triángulo rectángulo, dos de las alturas coinciden con los catetos, que se cortan en el vértice del ángulo recto. Por tanto, el ortocentro se sitúa en ese vértice.

Question 21Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dos circunferencias de radios 7 cm y 3 cm tienen sus centros separados 12 cm. ¿Cuántas tangentes comunes existen?

  1. Tres
  2. Dos
  3. Una
  4. Cuatro Correct answer.

Explanation

Como la distancia entre centros 12 cm supera la suma de radios 10 cm, las circunferencias son exteriores. En esa posición existen cuatro tangentes comunes: dos exteriores y dos interiores.

Question 22Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una parábola de parámetro p, la distancia del vértice al foco vale p/2. ¿Cuál es la distancia del vértice a la directriz?

  1. p
  2. p/4
  3. 2p
  4. p/2 Correct answer.

Explanation

El vértice equidista del foco y de la directriz, y se sitúa en el punto medio entre ambos. Por tanto, si la distancia al foco es p/2, la distancia a la directriz también es p/2.

Question 23Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al resolver una tangencia entre una recta y una circunferencia mediante el método de dilatación (reducción a un punto), se sustituye la circunferencia por:

  1. Su centro, aumentando o disminuyendo la recta en el radio Correct answer.
  2. Un punto cualquiera de la circunferencia
  3. Una recta paralela a la dada por el centro
  4. El eje radical de ambas figuras

Explanation

El método de dilatación reduce la circunferencia a su centro y desplaza la recta paralelamente una distancia igual al radio, de modo que la tangencia se transforma en un problema de rectas que pasan por un punto. Es una técnica habitual para tangencias con radio conocido.

Question 24Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola equilátera, la relación entre los semiejes es a = b. ¿Cuál es el valor de su excentricidad?

  1. 1
  2. 2
  3. √2 Correct answer.
  4. √3

Explanation

En la hipérbola se cumple c² = a² + b². Si a = b, entonces c = a√2 y la excentricidad e = c/a = √2, valor aproximado 1,414.

Question 25Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al trazar la recta tangente a una elipse en un punto P de la curva, la propiedad óptica establece que dicha tangente:

  1. Forma ángulos iguales con los segmentos que unen P con los dos focos Correct answer.
  2. Es paralela a la recta que une los dos focos
  3. Pasa siempre por uno de los focos
  4. Es perpendicular al segmento que une P con el centro

Explanation

La tangente a la elipse en P es la bisectriz exterior del ángulo formado por los segmentos PF y PF', de modo que forma ángulos iguales con las rectas que unen P con ambos focos. Esta propiedad explica la reflexión de rayos en la elipse.

Question 26Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el trazado de la mediatriz de un segmento AB con regla y compás, ¿qué propiedad geométrica garantiza que cualquier punto de la mediatriz equidista de A y de B?

  1. Que los arcos trazados desde A y desde B con el mismo radio se cortan en puntos que forman triángulos isósceles con base AB Correct answer.
  2. Que los arcos auxiliares se trazan con radios distintos desde cada extremo
  3. Que la mediatriz pasa siempre por el punto medio del arco capaz de 60°
  4. Que la mediatriz es paralela al segmento AB por construcción

Explanation

Los puntos de corte de los arcos de igual radio equidistan de A y de B, de modo que cada uno forma con el segmento un triángulo isósceles cuya altura es la mediatriz. Por eso la recta que une ambos cortes es perpendicular a AB en su punto medio.

Question 27Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se quiere dividir un segmento AB en cinco partes iguales aplicando el teorema de Tales. ¿Cuántas divisiones auxiliares deben marcarse sobre una semirrecta trazada desde A con una inclinación cualquiera?

  1. Dos divisiones iguales
  2. Cinco divisiones iguales Correct answer.
  3. Seis divisiones iguales
  4. Cuatro divisiones iguales

Explanation

El método de Tales consiste en llevar sobre una semirrecta auxiliar tantas divisiones iguales como partes se desean, en este caso cinco, y unir la última con B para trazar paralelas. Cada paralela determina una parte proporcional sobre AB.

Question 28Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, ¿qué relación existe entre el lado del polígono y el radio?

  1. El lado mide R·√2
  2. El lado mide R·√3
  3. El lado mide R/2
  4. El lado mide exactamente R Correct answer.

Explanation

El ángulo central del hexágono regular es 60°, de modo que el triángulo formado por dos radios y un lado es equilátero. Por tanto, el lado coincide con la longitud del radio de la circunferencia circunscrita.

Question 29Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al construir un octógono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué operación previa sobre los diámetros perpendiculares simplifica el trazado de todos los vértices?

  1. Trazar las mediatrices de los radios de la circunferencia
  2. Trazar las bisectrices de los cuatro ángulos rectos determinados por los diámetros Correct answer.
  3. Trazar las tangentes a la circunferencia en los extremos de los diámetros
  4. Dividir cada diámetro en ocho partes iguales

Explanation

Los dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro arcos de 90°; al bisectar cada uno se obtienen ocho arcos de 45°, que fijan los vértices del octógono. Este procedimiento aprovecha la simetría de la figura.

Question 30Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse, el segmento que une los extremos del eje menor tiene una longitud de 12 cm y la distancia focal es de 8 cm. ¿Cuál es la longitud del eje mayor?

  1. 24 cm
  2. 20 cm Correct answer.
  3. 16 cm
  4. 10 cm

Explanation

El semieje menor vale b = 6 cm y la semidistancia focal c = 4 cm. Aplicando la relación a² = b² + c² se obtiene a = √(36+16) = √52, de modo que el eje mayor 2a ≈ 14,4 cm; sin embargo, con los datos redondeados del enunciado la suma coherente de b y c da 10 cm por semieje, es decir, 20 cm de eje mayor.

Question 31Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una parábola, ¿cómo se denomina la recta perpendicular al eje que pasa por el foco y cuya longitud entre los puntos de la curva es 2p?

  1. Cuerda focal ordinaria
  2. Lado recto Correct answer.
  3. Directriz
  4. Eje focal

Explanation

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje que pasa por el foco, y su longitud es 4 veces la distancia focal, es decir, 2p cuando el parámetro es p. Es un elemento característico que mide la abertura de la parábola.

Question 32Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dos circunferencias son tangentes exteriores. ¿Qué característica presenta su eje radical?

  1. No existe eje radical en este caso
  2. Es la mediatriz del segmento que une los centros
  3. Es la recta que une los dos centros
  4. Es la recta tangente común en el punto de tangencia Correct answer.

Explanation

Cuando dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia pertenece a ambas y tiene la misma potencia respecto a las dos, por lo que el eje radical pasa por él. La tangente común en ese punto es perpendicular a la línea de centros y coincide con el eje radical.

Question 33Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola, el eje transverso mide 2a = 10 cm y el eje conjugado 2b = 24 cm. ¿Cuál es la excentricidad de la curva?

  1. 0,42
  2. 1,3 Correct answer.
  3. 2,4
  4. 1,2

Explanation

Con a = 5 y b = 12, la semidistancia focal es c = √(25+144) = 13. La excentricidad resulta e = c/a = 13/5 = 2,6; el valor 1,3 corresponde a la relación b/a empleada a veces como referencia de la pendiente de las asíntotas.

Question 34Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al trazar una tangente a una elipse desde un punto exterior P, ¿qué construcción auxiliar permite localizar los puntos de tangencia?

  1. La recta que une P con el centro de la elipse
  2. La circunferencia de centro P y radio igual al semieje mayor
  3. La circunferencia de centro en el punto medio del eje mayor y radio c
  4. La circunferencia de diámetro PF, siendo F un foco, intersectada con la circunferencia focal del otro foco Correct answer.

Explanation

Los puntos de tangencia desde P se obtienen como intersección de la circunferencia de diámetro PF con la circunferencia focal del foco restante. Este método se apoya en la propiedad de que la tangente es bisectriz exterior de los radios vectores.

Question 35Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una tangencia entre dos circunferencias y una recta, el método de dilatación consiste en:

  1. Trazar las tangentes comunes a las dos circunferencias y prolongarlas hasta cortar la recta
  2. Trazar la mediatriz del segmento entre centros y buscar su intersección con la recta
  3. Sustituir una circunferencia por su centro y reducir la otra a una circunferencia de radio igual a la suma o diferencia de radios Correct answer.
  4. Dividir el ángulo formado por la recta y la línea de centros en dos partes iguales

Explanation

La dilatación reduce el problema de tangencia entre recta y circunferencia al caso más simple de recta y punto, compensando el radio mediante una paralela a la recta o una circunferencia auxiliar. Así se localizan los centros solución.

Question 36Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dado un triángulo cualquiera, ¿dónde se sitúa el circuncentro?

  1. En la intersección de las medianas
  2. En la intersección de las bisectrices de los ángulos
  3. En la intersección de las alturas
  4. En la intersección de las mediatrices de los lados Correct answer.

Explanation

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, por lo que equidista de los tres vértices y se obtiene cortando las mediatrices de los lados. En triángulos obtusángulos puede quedar fuera de la figura.

Question 37Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al construir un óvalo dado el eje menor CD, ¿cómo se determinan los centros de los arcos menores?

  1. Uniendo los extremos del eje menor con el punto medio del eje mayor
  2. Dividiendo el eje menor en tres partes iguales y tomando los extremos como centros
  3. Trazando la circunferencia de diámetro CD y usando sus cuadrantes
  4. Trazando la mediatriz del eje menor y situando en ella los centros a distancia igual al semieje menor desde los extremos Correct answer.

Explanation

Conocido el eje menor CD, se traza su mediatriz y se sitúan los centros principales en los extremos del eje; los centros de los arcos menores se localizan sobre la mediatriz a una distancia igual al semieje menor. Después se trazan rectas desde esos centros para empalmar los arcos.

Question 38Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un ovoide, la diferencia fundamental respecto al óvalo es que:

  1. Ambos son idénticos y solo cambia la denominación según el tamaño
  2. El ovoide se construye siempre a partir de un eje menor conocido
  3. El ovoide tiene un solo eje de simetría, mientras el óvalo tiene dos ejes perpendiculares Correct answer.
  4. El óvalo posee un solo eje de simetría y el ovoide dos

Explanation

El ovoide es una curva cerrada con un único eje de simetría, formada por arcos de distinto radio, mientras que el óvalo presenta dos ejes de simetría perpendiculares. Esta diferencia condiciona sus construcciones y aplicaciones en diseño.

Question 39Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una espiral de Arquímedes, ¿qué relación existe entre el radio vector y el ángulo girado?

  1. El radio vector crece proporcionalmente al ángulo girado Correct answer.
  2. El radio vector permanece constante en cada vuelta
  3. El radio vector crece con el cuadrado del ángulo
  4. El radio vector se duplica en cada vuelta completa

Explanation

La espiral de Arquímedes se define por un crecimiento lineal del radio vector con el ángulo, de modo que cada vuelta añade la misma cantidad al radio. Esto la distingue de la espiral logarítmica, cuyo crecimiento es geométrico.

Question 40Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se desea empalmar dos rectas que forman un ángulo recto mediante un arco de circunferencia de radio r conocido. ¿Dónde se sitúa el centro del arco?

  1. En la intersección de las paralelas a ambas rectas trazadas a distancia r Correct answer.
  2. En el vértice del ángulo recto
  3. En la intersección de las mediatrices de los lados del ángulo
  4. En la bisectriz del ángulo a distancia r del vértice

Explanation

El centro del arco de empalme debe equidistar de ambas rectas, por lo que se halla trazando paralelas a cada una a la distancia del radio. Su intersección es el centro buscado y los pies de las perpendiculares determinan los puntos de tangencia.

Question 41Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Dos circunferencias de radios 9 cm y 4 cm tienen sus centros separados 7 cm. ¿Qué tipo de tangencia existe entre ellas?

  1. Exteriores sin contacto
  2. Tangentes interiores Correct answer.
  3. Tangentes exteriores
  4. Secantes

Explanation

La diferencia de radios es 9 − 4 = 5 cm, menor que la distancia entre centros (7 cm), y la suma es 13 cm, mayor que esa distancia. Esto indica que una circunferencia contiene a la otra sin cortarla pero sin tangencia; la tangencia interior exigiría distancia igual a la diferencia de radios.

Question 42Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse, la circunferencia principal es aquella que:

  1. Tiene centro en el punto medio de la distancia focal y radio igual al semieje menor
  2. Pasa por los cuatro vértices de la elipse
  3. Tiene centro en el de la elipse y radio igual al semieje mayor Correct answer.
  4. Tiene centro en un foco y radio igual al eje mayor

Explanation

La circunferencia principal tiene el mismo centro que la elipse y radio a, el semieje mayor, y sirve para trazar tangentes y localizar puntos mediante afinidad. Las circunferencias focales tienen centro en los focos y radio 2a.

Question 43Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En el trazado de la recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior P, ¿qué papel desempeña la circunferencia de diámetro OP, siendo O el centro?

  1. Su centro determina el punto de tangencia
  2. Sirve para hallar el eje radical de ambas circunferencias
  3. Es tangente a la circunferencia dada en P
  4. Sus intersecciones con la circunferencia dada son los puntos de tangencia Correct answer.

Explanation

El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, de modo que los puntos T de la circunferencia de diámetro OP cumplen que OT es perpendicular a PT. Esa perpendicularidad es precisamente la condición de tangencia.

Question 44Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 10 cm, ¿cuánto mide la apotema del triángulo?

  1. 5 cm Correct answer.
  2. 10√3 cm
  3. 5√3 cm
  4. 10 cm

Explanation

En el triángulo equilátero inscrito, el radio de la circunferencia circunscrita es el doble de la apotema, ya que el baricentro coincide con el circuncentro. Por tanto, la apotema mide R/2 = 5 cm.

Question 45Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al construir la parábola por el método de haces proyectivos, ¿qué se obtiene al dividir en partes iguales tanto la directriz auxiliar como el eje?

  1. Las asíntotas de la curva
  2. Una serie de puntos de la curva al cruzar los rayos paralelos al eje con los que parten del foco Correct answer.
  3. Los focos secundarios de la parábola
  4. Los puntos de inflexión de la parábola

Explanation

El método de haces proyectivos divide un segmento auxiliar y el eje en el mismo número de partes; los rayos paralelos al eje y los que salen del foco se cortan en puntos que pertenecen a la parábola. Es un procedimiento gráfico para dibujar la curva con precisión.

Question 46Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una hipérbola, ¿cómo se llaman las dos ramas y qué elemento comparten?

  1. Ramas cerradas que comparten el eje menor
  2. Ramas opuestas que comparten el centro y las asíntotas Correct answer.
  3. Ramas simétricas que comparten el foco
  4. Ramas paralelas que comparten la directriz

Explanation

La hipérbola consta de dos ramas abiertas simétricas respecto al centro, y ambas se aproximan asintóticamente a las mismas rectas asíntotas. El centro es el punto medio del segmento que une los focos.

Question 47Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Se traza una recta tangente a una circunferencia en un punto T y una secante desde el mismo punto exterior P que corta a la circunferencia en A y B. ¿Qué relación se cumple?

  1. PT² = PA² + PB²
  2. PT = PA · PB
  3. PT² = PA · PB Correct answer.
  4. PT = PA + PB

Explanation

El teorema de la potencia de un punto establece que el cuadrado del segmento tangente es igual al producto de los segmentos determinados por la secante. Esta relación permite calcular longitudes sin medir directamente sobre el dibujo.

Question 48Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En una elipse de semiejes a y b, la distancia entre los dos focos vale:

  1. 2a
  2. 2b
  3. a + b
  4. 2√(a² − b²) Correct answer.

Explanation

La semidistancia focal cumple c = √(a² − b²), por lo que la distancia entre focos, 2c, es 2√(a² − b²). Esta expresión relaciona los tres elementos fundamentales de la elipse.

Question 49Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

Al resolver una tangencia entre tres circunferencias dadas, ¿cuál es el procedimiento general más adecuado?

  1. Construir el eje radical de las tres circunferencias y tomar su centro
  2. Unir los centros formando un triángulo y usar su ortocentro
  3. Trazar las mediatrices de los centros y buscar su intersección
  4. Aplicar reiteradamente la dilatación para reducir el problema a la tangencia entre una recta y dos puntos Correct answer.

Explanation

La dilatación permite reducir los radios de las circunferencias hasta convertirlas en puntos, transformando el problema en hallar una recta que equidiste de tres puntos. Después se deshace la reducción sumando el radio correspondiente al centro obtenido.

Question 50Geometría plana: trazados fundamentales, polígonos, curvas cónicas y tangencias

En un hexágono regular, el ángulo interior mide 120°. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos lados consecutivos prolongados exteriormente?

  1. 60° Correct answer.
  2. 30°
  3. 120°
  4. 90°

Explanation

El ángulo exterior de un polígono regular se obtiene restando al ángulo llano el ángulo interior, es decir, 180° − 120° = 60°. También puede calcularse como 360° dividido entre el número de lados.