Placa triangular suspendida: verdadera magnitud y comprobación de un anclaje
Una escultura para el vestíbulo de un centro cultural incluye una placa triangular de acero de 6 mm de espesor, suspendida de tres anclajes. El taller envía las coordenadas de los tres puntos referidas al sistema diédrico, en milímetros y con el origen en un vértice de la sala: A (x = 0; alejamiento 10; cota 40), B (x = 70; alejamiento 60; cota 20) y C (x = 30; alejamiento 90; cota 10). La placa se mecaniza plana y se monta después inclinada, por lo que el despiece necesita la verdadera magnitud del triángulo y el ángulo que forma su plano con el plano horizontal, para calcular el volumen del soporte inferior. El montador propone además un cuarto punto de fijación P (x = 40; alejamiento 40; cota 25) y pregunta si puede taladrar directamente sobre la placa o si hará falta un casquillo suplementario. Todo debe justificarse numéricamente, sin medir sobre el dibujo.
1. Calcular la verdadera magnitud de los tres lados de la placa y describir el procedimiento de abatimiento que permitiría dibujarla en verdadera magnitud.
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Verdaderas magnitudes por diferencias de coordenadas (el diédrico conserva x, alejamiento e y, cota z; la verdadera magnitud de un segmento es la hipotenusa de sus tres diferencias):
- AB: Δx = 70, Δy = 50, Δz = −20 → √(4900 + 2500 + 400) = √7800 ≈ 88,3 mm
- AC: Δx = 30, Δy = 80, Δz = −30 → √(900 + 6400 + 900) = √8200 ≈ 90,6 mm
- BC: Δx = −40, Δy = 30, Δz = −10 → √(1600 + 900 + 100) = √2600 ≈ 51,0 mm
El triángulo es escaleno; no hay ningún lado en verdadera magnitud en las proyecciones, porque ninguno es paralelo a un plano de proyección.
Abatimiento sobre el plano horizontal:
- Hallar la traza horizontal del plano ABC: prolongar AB y AC hasta cota 0 y unir los dos puntos de intersección; esa recta es la charnela.
- Desde la proyección horizontal de cada vértice, trazar la perpendicular a la charnela y medir la distancia d a esa recta.
- Abatir cada vértice sobre esa perpendicular a una distancia √(cota² + d²) (triángulo rectángulo construido con la cota como cateto).
- Unir los tres puntos abatidos: se obtiene el triángulo en verdadera magnitud, que debe coincidir con los valores calculados (88,3 / 90,6 / 51,0).
Alternativa equivalente: dos cambios de plano hasta dejar el plano ABC paralelo al nuevo plano de proyección.
Ángulo con el horizontal: se traza la recta de máxima pendiente (perpendicular a la traza horizontal) y se abate; su ángulo con la charnela es el ángulo del plano. Analíticamente, con la normal n = AB × AC = (100; 1500; 4100) y |n| ≈ 4366,9, resulta cos θ = 4100 / 4366,9 = 0,939, es decir θ ≈ 20,1° respecto del horizontal.
2. Determinar si el punto P (40; 40; 25) pertenece al plano de la placa. Si no pertenece, indicar a qué distancia está y qué consecuencia práctica tiene para el montaje.
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Método: coplanariedad por producto mixto.
- AB = B − A = (70; 50; −20)
- AC = C − A = (30; 80; −30)
- AP = P − A = (40; 30; −15)
Producto vectorial AB × AC = (100; 1500; 4100), con |AB × AC| ≈ 4366,9 mm².
Producto mixto (AB × AC) · AP = 100·40 + 1500·30 + 4100·(−15) = 4000 + 45000 − 61500 = −12 500 mm³.
El producto mixto no es nulo, luego P no está en el plano de la placa.
Distancia al plano:
d = |producto mixto| / |AB × AC| = 12 500 / 4366,9 ≈ 2,86 mm
Lectura práctica: el error es pequeño pero mayor que la tolerancia de apoyo de una placa de 6 mm; taladrar en P dejaría el agujero descentrado respecto del plano de apoyo y generaría un par de apriete al atornillar. Lo correcto es proyectar P sobre el plano (a lo largo de la normal) y replantear el taladro en el punto proyectado, o añadir el casquillo suplementario que absorba esos 2,9 mm. Conclusión: no basta con «parece que está cerca»; el signo negativo indica además que P cae del lado opuesto al semiespacio del resto de la pieza.
3. Explicar cómo se determina en el plano la visibilidad de las aristas de la placa en la proyección vertical sabiendo que la placa es opaca, y por qué la elección de la recta de máxima pendiente sirve también para acotar el volumen de apoyo.
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Visibilidad en diédrico. Se comparan las dos aristas que se cruzan en proyección vertical: se toma un punto de cruce y se mira cuál de las dos tiene mayor alejamiento en la proyección horizontal; la de mayor alejamiento está más cerca del observador y es la vista, la otra queda oculta (trazo discontinuo). Como la placa es opaca y de espesor despreciable frente a sus dimensiones, todas las aristas vistas se dibujan con línea continua gruesa y las ocultas con discontinua, o se suprimen si se opta por representar solo el contorno aparente.
Recta de máxima pendiente. Es la recta del plano perpendicular a su traza horizontal; su ángulo con el horizontal (20,1°) es el máximo de todas las rectas del plano y define exactamente la inclinación real de la placa. Por eso es la referencia para calcular la altura libre entre el punto más bajo (C, cota 10) y el plano de apoyo: la diferencia de cotas entre los vértices (30 mm entre A y C) y el ángulo de 20,1° permiten dimensionar el soporte inferior sin ambigüedad.
Error a evitar: usar la recta AB (que tiene cota constante 30 solo en A… en realidad la cota varía) o medir el ángulo sobre una recta cualquiera del plano y no sobre la de máxima pendiente; ese error infravalora la inclinación y dejaría el volumen de apoyo corto.