Geometría plana: trazados, polígonos, cónicas y tangencias
Qué evalúa el dominio
La geometría plana reúne los trazados con regla y compás, la construcción de polígonos, las curvas cónicas y las tangencias. En la PAU se valora que la construcción sea exacta, que se conserven los arcos auxiliares y que se identifiquen los puntos de tangencia, no solo el resultado visual.
Reglas y conceptos
- Perpendicular por un punto: arcos de igual radio desde dos puntos de la recta; la mediatriz es el caso de la perpendicular por el punto medio. La bisectriz se obtiene con arcos desde los lados.
- División de un segmento en n partes iguales: teorema de Thales con una recta auxiliar y paralelas.
- Polígonos regulares: dado el lado se construyen cuadrado, pentágono, hexágono y octógono con procedimientos exactos; el método general de división de la circunferencia en n partes es aproximado para muchos n y no debe presentarse como exacto.
- Cónicas: elipse como lugar de puntos cuya suma de distancias a los focos es 2a; hipérbola, diferencia constante 2a; parábola, equidistancia a foco y directriz. La excentricidad es e=c/a: e<1 elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbola.
- Tangencias: el centro de una circunferencia tangente a dos rectas está en la bisectriz; a una recta y una circunferencia, en una paralela a distancia r; a dos circunferencias, en circunferencias concéntricas de radios R+r o R−r.
Ejemplo razonado
Tangentes exteriores a dos circunferencias de radios r=15 mm y R=25 mm, con centros O1 y O2 separados 50 mm. Se dibuja la circunferencia auxiliar centrada en O2 de radio R−r=10 mm. Desde O1 se trazan las tangentes a esa auxiliar; el punto de tangencia T permite trazar por O2 la recta O2T, que corta a la circunferencia grande en el punto de tangencia P. Por O1 se traza la paralela a O2P y se obtiene Q sobre la circunferencia pequeña. La recta PQ es la tangente exterior. Comprobación: la longitud del segmento tangente entre contactos es √(50²−10²)=√2400≈49,0 mm. Si se hubiera usado R+r=40 mm se obtendrían las tangentes interiores, no las pedidas.
Errores que restan
Confundir tangente exterior con interior; marcar la tangencia en el punto más próximo de la circunferencia sin construirla; usar el método general del polígono como si fuera exacto; borrar los arcos auxiliares que justifican la construcción; confundir 2a con a en la elipse o la directriz con el eje en la parábola.