Dos drones sobre el puerto: ¿se cruzan las trayectorias?
Dos drones de reparto de una empresa logística sobrevuelan el puerto de La Luz siguiendo trayectorias rectilíneas. El dron A describe la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, −1, 1), con las coordenadas en kilómetros y t en minutos. El dron B sigue la recta s que pasa por P(3, 1, 1) y por Q(1, 2, 3), a velocidad constante. El centro de control sabe que las direcciones no son paralelas, pero eso no basta para descartar una colisión: hay que comprobar si las trayectorias se cortan realmente en algún punto. Se exige además una separación mínima de 1,5 km entre los aparatos. Por último, la autoridad portuaria pide definir una superficie plana de seguridad que contenga la trayectoria de A y sea paralela a la de B, para restringir el espacio aéreo mientras dure la operación.
1. Determina la posición relativa de las rectas r y s y decide si existe riesgo de colisión.
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Direcciones: d₁ = (2, −1, 1) y d₂ = Q − P = (−2, 1, 2); no son proporcionales, luego las trayectorias no son paralelas.
¿Se cortan? Planteamos (1, 0, 2) + t(2, −1, 1) = (3, 1, 1) + u(−2, 1, 2):
- x: 1 + 2t = 3 − 2u
- y: −t = 1 + u → t = −1 − u
- z: 2 + t = 1 + 2u
Sustituyendo t en la primera: 1 − 2 − 2u = 3 − 2u → −1 = 3, imposible. No hay punto común.
Conclusión: rectas no paralelas sin punto de corte → se cruzan (son alabeadas). Comprobación con el producto mixto: (P − A₀) · (d₁ × d₂) = (2, 1, −1) · (−3, −6, 0) = −12 ≠ 0, luego los cuatro puntos no son coplanarios.
Decisión: no hay riesgo de colisión, pero tampoco basta con decir que no son paralelas; la no coplanariedad es la que descarta el impacto.
2. Calcula la distancia mínima entre las dos trayectorias y valora si se cumple la separación exigida de 1,5 km.
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Para rectas que se cruzan, la distancia es la proyección del vector que une un punto de cada recta sobre la dirección perpendicular común:
d = |(P − A₀) · (d₁ × d₂)| / |d₁ × d₂|, con A₀ = (1, 0, 2) y P = (3, 1, 1).
- d₁ × d₂ = (−3, −6, 0); |d₁ × d₂| = √(9 + 36) = √45 = 3√5.
- P − A₀ = (2, 1, −1); producto escalar = −6 − 6 + 0 = −12.
d = 12/(3√5) = 4/√5 = 4√5/5 ≈ 1,79 km.
Valoración: la separación mínima supera el umbral de 1,5 km, pero el margen es de solo 0,29 km. Con errores de posicionamiento GPS de decenas de metros, el plan es autorizable únicamente con seguimiento en tiempo real y una franja de exclusión; el dato de 1,79 km no admite redondeos optimistas a la baja.
3. Halla el plano que contiene la trayectoria r y es paralelo a s, comprueba que s no está contenido en él y calcula la distancia de s a ese plano.
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Ecuación del plano. Debe contener r y ser paralelo a s, luego su normal es perpendicular a d₁ y a d₂: n = d₁ × d₂ = (−3, −6, 0), que simplificado es (1, 2, 0). Imponiendo que pase por (1, 0, 2): 1·(x − 1) + 2·(y − 0) + 0·(z − 2) = 0 → x + 2y − 1 = 0.
Comprobaciones: el punto (1, 0, 2) de r la cumple; d₂ · n = −2 + 2 = 0, luego s es paralela al plano. No está contenida: el punto (3, 1, 1) da 3 + 2 − 1 = 4 ≠ 0.
Distancia de s al plano: |3 + 2 − 1|/√(1 + 4) = 4/√5 ≈ 1,79 km, que coincide con la distancia entre las rectas, como debe ocurrir, ya que el plano contiene a r y es paralelo a s.
Uso operativo: la superficie x + 2y − 1 = 0 puede declararse frontera de seguridad; todo el corredor entre ambas trayectorias queda por debajo de esa cota.