Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL cheat sheet

Determinante 3x3 por Sarrus o desarrollo por adjuntos: |A| = a11·C11 + a12·C12 + a13·C13, con Cij = (−1)^(i+j)·Mij.

Propiedades: |A·B| = |A|·|B|; |Aᵀ| = |A|; |kA| = kⁿ|A| en orden n; si una fila es combinación lineal de otras, |A| = 0.

A es invertible ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ rango(A) = n; entonces A⁻¹ = adj(A)ᵀ/|A|.

Rango por Gauss: número de filas no nulas tras escalonar; también rango = mayor orden con determinante no nulo.

Rouché–Fröbenius: sistema compatible ⇔ rango(A) = rango(A|b); determinado si además igual a n (incógnitas), indeterminado si menor.

Sistema homogéneo A·x = 0 siempre es compatible; tiene soluciones no triviales ⇔ |A| = 0 (rango < n).

Regla de Cramer (solo si |A| ≠ 0): xi = |Ai|/|A|, donde Ai sustituye la columna i por el término independiente.

Ecuación matricial A·X = B con |A| ≠ 0 se resuelve X = A⁻¹·B; si X·A = B entonces X = B·A⁻¹ (no conmutar).

Producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) = determinante de componentes; volumen del paralelepípedo = |[u,v,w]|; si vale 0 los tres vectores son coplanarios.

Área del triángulo de vértices A,B,C = ½·|AB×AC|; área del paralelogramo = |u×v|.

Plano: n·(X − P₀) = 0, con n = u×v si el plano contiene dos vectores directores; forma general Ax + By + Cz + D = 0.

Recta: (x,y,z) = P₀ + t·v; si v = (v1,v2,v3) con componentes no nulas, forma continua (x−x₀)/v1 = (y−y₀)/v2 = (z−z₀)/v3.

Posiciones recta–plano: sustituir la recta en el plano; una solución → secante, infinitas → contenida, ninguna → paralela (n·v = 0 lo confirma).

Posiciones plano–plano: paralelos si n₁ ∥ n₂ y D distinto; coincidentes si n₁ ∥ n₂ y proporcionales también los términos independientes; si no, se cortan en una recta.

Distancia punto–plano: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Distancia punto–recta: d = |AP₀ × v| / |v|; distancia entre planos paralelos = |D₁ − D₂| / |n|.

Ángulo entre rectas o entre planos: cos θ = |u·v| / (|u||v|); ángulo recta–plano: sen θ = |n·v| / (|n||v|).

Indeterminación 0/0 con raíces: multiplicar por el conjugado; con polinomios: factorizar o aplicar L'Hôpital.

Indeterminación ∞/∞ en cociente de polinomios: comparar grados; iguales → cociente de coeficientes líderes; grado menor en el numerador → 0; mayor → ±∞.

Límite tipo 1^∞: lim (1 + f(x))^(g(x)) = e^(lim f(x)·g(x)) cuando f → 0 y g → ∞; también con la forma (1 + 1/u)^u → e.

Continuidad en x = a exige tres condiciones: existe f(a), existe lim f(x) y ambos coinciden; si el límite lateral difiere, hay salto.

Teorema de Bolzano: f continua en [a,b] con f(a)·f(b) < 0 ⇒ existe c en (a,b) con f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass: f continua en [a,b] cerrado y acotado alcanza máximo y mínimo absolutos.

Derivable ⇒ continua; el recíproco es falso (|x| en 0 es continua pero no derivable).

Derivabilidad en a requiere que los límites laterales del cociente incremental coincidan; en a trozos, igualar derivadas laterales en la frontera.

f'(x) > 0 ⇒ f creciente; f'(x) < 0 ⇒ f decreciente; extremo relativo en punto interior con f'(x) = 0 y cambio de signo de f'.

Criterio de la segunda derivada: f'(a) = 0 y f''(a) > 0 ⇒ mínimo relativo; f''(a) < 0 ⇒ máximo relativo; f''(a) = 0 no decide.

Concavidad: f'' > 0 convexa (∪), f'' < 0 cóncava (∩); punto de inflexión si f'' cambia de signo en a.

Asíntota vertical en x = a si lim f(x) = ±∞; horizontal y = L si lim f(x) = L en ±∞; oblicua y = mx + n con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) − mx).

Optimización: expresar la magnitud en una variable usando la restricción, derivar, resolver f' = 0 y verificar con la segunda derivada o el signo.

Tasa de cambio media en [a,b] = (f(b) − f(a))/(b − a); tasa instantánea en a = f'(a).

Regla de la cadena para tasas relacionadas: si V = f(r), dV/dt = f'(r)·dr/dt; derivar la relación respecto de t.

Tangente en x = a: y = f(a) + f'(a)(x − a); normal: pendiente −1/f'(a) si f'(a) ≠ 0.

Teorema de Rolle: f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a) = f(b) ⇒ existe c con f'(c) = 0; Lagrange: f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

Primitivas inmediatas clave: ∫xⁿdx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫dx/x = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C; ∫sen x dx = −cos x + C.

Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; elegir u por orden inverso a derivar (potencia, exponencial, logaritmo, trigonométrica).

Cambio de variable: si t = g(x), dx = dt/g'(x); ajustar los límites de integración al cambiar de variable en una integral definida.

Fracciones simples: con denominador (x−a)(x−b) descomponer A/(x−a) + B/(x−b); raíz múltiple repite términos con potencias crecientes.

Regla de Barrow: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) con F primitiva de f; si f es impar y el intervalo simétrico, la integral es 0.

Área entre y = f(x) y el eje OX: ∫ₐᵇ |f(x)|dx; localizar los ceros y separar en tramos con signo.

Área entre dos curvas: ∫ₐᵇ (f − g)dx con f ≥ g en [a,b]; los límites a, b son las intersecciones f(x) = g(x).

Volumen de revolución alrededor de OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx; alrededor de OY con discos horizontales V = π∫ [g(y)]²dy.

Integral impropia: calcular el límite del extremo; ∫₁^∞ dx/xᵖ converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) con P(B) > 0; A y B independientes ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A).

Probabilidad total: P(B) = Σ P(Ai)·P(B|Ai) con los Ai una partición del espacio muestral.

Bayes: P(Ai|B) = P(Ai)·P(B|Ai) / Σ P(Aj)·P(B|Aj).

Binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k); media np, varianza np(1−p); modela n ensayos independientes con dos resultados.

Normal N(μ,σ): tipificar z = (x − μ)/σ y usar la tabla de N(0,1); P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ).

Simetría normal: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z); P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).

Aproximación binomial→normal si np > 5 y n(1−p) > 5, con μ = np y σ = √(np(1−p)); aplicar corrección por continuidad ±0,5.

Estadísticos muestrales: media x̄, desviación típica s; coeficiente de variación CV = s/x̄ compara dispersión entre muestras de distinta escala.

Intervalo de confianza para la media con σ conocida: x̄ ± z_(α/2)·σ/√n; para el 95 % z = 1,96.