Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL flashcards

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Determinante de matriz 3x3

Se calcula por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila o columna con los adjuntos: suma de productos con signos alternos según la posición del elemento.

Matriz inversa por adjuntos

A⁻¹ existe solo si el determinante de A es distinto de cero, y se obtiene como la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por ese determinante.

Teorema de Rouché–Fröbenius

Un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada; es determinado cuando ese rango iguala el número de incógnitas.

Regla de Cramer

Con determinante de la matriz de coeficientes no nulo, cada incógnita es el cociente entre el determinante que sustituye su columna por los términos independientes y el determinante principal.

Rango por escalonamiento

El rango de una matriz es el número de filas no nulas que quedan tras aplicarle operaciones elementales de Gauss, o el mayor orden con determinante no nulo.

Producto mixto y volumen

El producto mixto de tres vectores se calcula como el determinante de sus componentes; su valor absoluto da el volumen del paralelepípedo que determinan.

Ecuación general del plano

Un plano queda definido por un punto y un vector normal: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, que se escribe como Ax+By+Cz+D=0.

Distancia punto a plano

Se sustituye el punto en la ecuación general del plano, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del vector normal, raíz de la suma de cuadrados de sus componentes.

Distancia punto a recta

Es el módulo del producto vectorial entre un vector que une el punto con un punto de la recta y el vector director, dividido por el módulo del director.

Ángulo entre recta y plano

Se calcula con el seno del ángulo: cociente entre el valor absoluto del producto escalar del director de la recta y el normal del plano, y el producto de sus módulos.

Posiciones relativas recta y plano

Sustituyendo la recta paramétrica en el plano, una solución indica corte, infinitas indica que la recta está contenida y ninguna indica paralelismo sin intersección.

Indeterminación 1 elevado a infinito

Cuando la base tiende a uno y el exponente a infinito, el límite vale e elevado al límite del producto del exponente por la base menos uno.

Condiciones de continuidad

Una función es continua en un punto si existe su valor, existe el límite en ese punto y ambos números coinciden; si falla alguno hay discontinuidad.

Teorema de Bolzano

Si una función es continua en un intervalo cerrado y toma signos opuestos en los extremos, existe al menos un punto interior donde la función se anula.

Derivable implica continuo

Toda función derivable en un punto es continua allí, pero el recíproco falla: el valor absoluto es continuo en cero y no derivable en ese punto.

Criterio de la segunda derivada

Con derivada primera nula en un punto, si la segunda derivada es positiva hay mínimo relativo, si es negativa hay máximo, y si es cero el criterio no decide.

Punto de inflexión

Es un punto donde cambia la concavidad de la función; en él la segunda derivada se anula o no existe y además cambia de signo a ambos lados.

Asíntota oblicua

Recta y=mx+n que aproxima la función en el infinito, con m igual al límite de f(x)/x y n igual al límite de f(x) menos mx.

Tasa de cambio instantánea

Es el valor de la derivada en un punto y mide cómo varía la función por unidad de la variable; la tasa media usa el cociente de incrementos en un intervalo.

Optimización con derivadas

Se expresa la magnitud con una sola variable usando la restricción, se deriva, se iguala a cero y se comprueba con la segunda derivada o el cambio de signo.

Integración por partes

Fórmula que transforma la integral de un producto: integral de u dv es u por v menos la integral de v du; se elige u como la función que conviene derivar.

Regla de Barrow

La integral definida entre a y b de una función continua es la diferencia de valores de cualquier primitiva suya evaluada en b y en a.

Área entre dos curvas

Se integra la diferencia entre la curva superior y la inferior entre los puntos donde se cortan, es decir, las soluciones de igualar ambas funciones.

Volumen de revolución

Al girar la gráfica de f alrededor del eje OX entre a y b, el volumen es pi por la integral del cuadrado de f; alrededor de OY se integra en y.

Integración por cambio de variable

Se sustituye una parte del integrando por una nueva variable t, se cambia dx por dt dividido por su derivada y, en integrales definidas, se ajustan los límites.

Probabilidad condicionada

La probabilidad de A dado B es el cociente entre la probabilidad de la intersección y la de B, siempre que B tenga probabilidad positiva.

Teorema de la probabilidad total

Si los sucesos de una partición son incompatibles y cubren el espacio muestral, la probabilidad de un suceso es la suma de sus probabilidades condicionadas por cada parte.

Teorema de Bayes

Permite calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado, dividiendo el producto de la probabilidad previa por la verosimilitud entre la probabilidad total del efecto.

Distribución binomial

Modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante p; su media es np y su varianza es np por uno menos p.

Tipificación normal

Para usar la tabla normal estándar se transforma el valor con z igual a x menos la media, dividido por la desviación típica, y se aplica la simetría.

Aproximación binomial a normal

Cuando np y n(1−p) superan cinco, la binomial se aproxima por una normal de media np y desviación raíz de np(1−p), con corrección de continuidad.

Coeficiente de variación

Es el cociente entre la desviación típica y la media; permite comparar la dispersión relativa de dos conjuntos de datos con escalas o unidades distintas.