Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL key terms

Matriz que se obtiene al intercambiar filas y columnas de otra; la fila i pasa a ser la columna i. Se escribe Aᵀ y cumple (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, aᵢⱼ = aⱼᵢ para todos los índices. Su estudio aparece al analizar productos de una matriz por su traspuesta.

Número escalar asociado a una matriz cuadrada que indica si es invertible: es distinto de cero exactamente cuando el rango es máximo. Se calcula por desarrollo de adjuntos o por el método de Gauss.

Determinante de una submatriz cuadrada formada al elegir k filas y k columnas de la matriz original. Sirve para calcular el rango y para discutir sistemas por el teorema de Rouché-Frobenius.

Orden del mayor menor no nulo de la matriz. Coincide con el número de filas o columnas linealmente independientes y determina la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Matriz A⁻¹ que multiplicada por A da la identidad, tanto por la izquierda como por la derecha. Existe solo si A es cuadrada y su determinante no es cero.

Matriz formada por los adjuntos de cada elemento, trasponiendo después el resultado. Junto con el determinante permite escribir la inversa como adj(A)ᵀ dividido entre det(A).

Criterio que clasifica un sistema lineal comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada: si coinciden es compatible, y es determinado cuando ese rango iguala el número de incógnitas.

Sistema lineal con infinitas soluciones, porque el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas. La solución se expresa con uno o más parámetros libres.

Método que resuelve un sistema compatible determinado calculando cada incógnita como un cociente de determinantes: el del sistema con la columna sustituida por los términos independientes, dividido entre el determinante principal.

Sistema lineal en el que todos los términos independientes son cero. Siempre admite la solución trivial y solo tiene infinitas soluciones cuando el determinante de la matriz de coeficientes se anula.

Vector no nulo paralelo a una recta que fija su dirección. Junto con un punto determina la recta, tanto en forma vectorial y paramétrica como en la continua.

Vector perpendicular a un plano que define su orientación. Sus componentes son los coeficientes de x, y, z en la ecuación general del plano.

Operación entre dos vectores que da otro vector perpendicular a ambos, con módulo igual al área del paralelogramo que forman. Se usa para obtener vectores normales y calcular áreas.

Combinación del producto escalar y el vectorial, igual al determinante de los tres vectores. Vale cero cuando son coplanarios y su valor absoluto mide el volumen del paralelepípedo.

Expresión de la recta mediante un punto y un vector director con un parámetro real: (x, y, z) = P + t·v. Al variar t se recorren todos los puntos de la recta.

Forma ax + by + cz + d = 0, donde (a, b, c) es un vector normal al plano. Permite estudiar posiciones relativas y calcular ángulos y distancias con facilidad.

Clasificación del modo en que se cortan o no dos rectas, una recta y un plano, o dos planos: coincidentes, paralelos, secantes o que se cruzan sin cortarse.

Longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta el plano. Se calcula sustituyendo el punto en la ecuación general y dividiendo entre el módulo del vector normal.

Mínima separación entre dos rectas no paralelas y no coplanarias. Se obtiene con el valor absoluto del producto mixto de un vector entre puntos y los dos directores, dividido entre el módulo del producto vectorial.

Ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano. Se calcula con el seno, a partir del coseno del ángulo entre el vector director y el vector normal.

Valor al que tiende una función cuando la variable se aproxima a un punto solo por la izquierda o solo por la derecha. Su coincidencia es condición necesaria para la existencia del límite.

Propiedad de una función en un punto cuando existe el límite, existe el valor de la función y ambos coinciden. En un intervalo exige además continuidad en todos sus puntos.

Existencia de la derivada como límite del cociente incremental. Implica continuidad en el punto, pero la continuidad no garantiza derivabilidad, como muestra la función valor absoluto en el origen.

Límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero solo por la derecha o solo por la izquierda. La función es derivable si ambas derivadas laterales existen y son iguales.

Recta x = a hacia la que la gráfica de una función se aproxima indefinidamente cuando la variable tiende a a. Aparece cuando algún límite lateral en ese punto es infinito.

Recta y = mx + n a la que la gráfica se acerca cuando la variable tiende a infinito, con pendiente finita y no nula. Se obtienen m y n calculando dos límites sucesivos.

Técnica para resolver indeterminaciones del tipo cero entre cero o infinito entre infinito, sustituyendo el cociente de funciones por el cociente de sus derivadas cuando este último límite existe.

Expresión simbólica como 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞ o 1^∞ que aparece al sustituir en un límite y que no determina por sí sola su valor. Requiere manipulación algebraica o L'Hôpital.

Si una función es continua en un intervalo cerrado y toma signos opuestos en sus extremos, existe al menos un punto interior donde se anula. Se usa para justificar raíces de ecuaciones.

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su valor máximo y su valor mínimo absolutos. Garantiza la existencia de extremos globales en problemas de optimización.

Procedimiento para hallar los valores máximos o mínimos de una magnitud expresada como función de una o varias variables, usando la derivada y comprobando los extremos del dominio.

Punto del dominio donde la derivada se anula o no existe. Candidato a extremo relativo; se clasifica estudiando el signo de la derivada primera o el valor de la segunda.

Punto donde la gráfica cambia de concavidad. Suele cumplir que la derivada segunda se anula, aunque esa condición no basta para garantizarlo.

Cociente entre el incremento de la función y el incremento de la variable en un intervalo. Coincide con la pendiente de la recta secante que une los extremos de ese intervalo.

Para una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el abierto, existe un punto interior donde la derivada iguala la tasa de variación media del intervalo.

Función cuya derivada es la función dada. Existen infinitas, que difieren en una constante aditiva, y su conjunto se llama integral indefinida.

Relación que permite calcular una integral definida como la diferencia entre los valores de una primitiva en el extremo superior y en el inferior del intervalo de integración.

Número que representa el área con signo entre la gráfica de una función y el eje de abscisas en un intervalo. Se anula si los extremos coinciden y cambia de signo al invertirlos.

Región del plano limitada por dos funciones entre dos abscisas. Se calcula integrando el valor absoluto de su diferencia, tras localizar los puntos de corte.

Método basado en la derivada de un producto, que transforma la integral de u·dv en u·v menos la integral de v·du. Útil con productos de polinomios, exponenciales, logaritmos o trigonométricas.

Técnica que sustituye la variable por otra función para simplificar el integrando, ajustando también el diferencial. En integrales definidas hay que transformar además los límites de integración.

Probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que ha ocurrido otro B, calculada como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la de B, siempre que esta última no sea nula.

Fórmula que permite invertir una probabilidad condicionada: calcula la probabilidad de una causa dado un efecto observado, usando las probabilidades previas y las verosimilitudes.

Regla que expresa la probabilidad de un suceso como suma de sus probabilidades condicionadas a un conjunto de sucesos incompatibles que cubren todo el espacio muestral.

Dos sucesos cuya probabilidad conjunta es el producto de sus probabilidades individuales. Equivalentemente, la probabilidad condicionada de uno no cambia al saber que ha ocurrido el otro.

Modelo que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes con probabilidad de éxito constante p. Su media es np y su varianza np(1 − p).

Modelo continuo y simétrico definido por su media y su desviación típica, con forma de campana. Cualquier normal se tipifica restando la media y dividiendo entre la desviación para usar la tabla estándar.

Transformación de una variable normal en la normal estándar de media cero y desviación uno, mediante z = (x − μ)/σ. Permite consultar una única tabla de probabilidades.

Uso de la distribución normal para calcular probabilidades binomiales cuando n es grande y p no está próximo a cero ni a uno, aplicando la corrección por continuidad de media unidad.