I85PREP
⌘ K
Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL study materials
Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL study resources

Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL practice questions

One question at a time. Build your Canary Islands PAU Mathematics II / Matemáticas II COPAU ULPGC ULL understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 3×3
  2. 2×4 Correct answer.
  3. 4×2
  4. No es posible multiplicarlas

Explanation

El producto de una matriz m×n por otra n×p existe y da como resultado una matriz m×p. Aquí el número de columnas de A (3) coincide con el de filas de B (3), luego el producto es de orden 2×4.

Question 2Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden n. ¿Qué condición garantiza que A sea invertible?

  1. Que sea simétrica
  2. Que su traza sea nula
  3. Que todos sus elementos sean distintos de cero
  4. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es no nulo, es decir, si su rango es máximo. Tener elementos no nulos, ser simétrica o tener traza nula no asegura la existencia de inversa.

Question 3Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿cuál de las siguientes igualdades es siempre cierta?

  1. det(A·B) = det(A)·det(B) Correct answer.
  2. det(A−B) = det(A)−det(B)
  3. det(A·B) = det(A)+det(B)
  4. det(A+B) = det(A)+det(B)

Explanation

El determinante es multiplicativo: el determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es el producto de sus determinantes. En cambio, no es aditivo ni respecto de la suma ni de la resta de matrices.

Question 4Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

En un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado con tres incógnitas, ¿qué relación existe entre el rango de la matriz de coeficientes y el número de incógnitas?

  1. El rango es igual al número de incógnitas Correct answer.
  2. El rango es menor que el número de incógnitas
  3. El rango es mayor que el número de incógnitas
  4. El rango siempre vale uno

Explanation

Por el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible determinado cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la ampliada y ambos igualan el número de incógnitas. Si el rango fuera menor, habría parámetros libres y el sistema sería indeterminado.

Question 5Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad de orden 4?

  1. 0
  2. 1 Correct answer.
  3. 16
  4. 4

Explanation

El determinante de la matriz identidad de cualquier orden es 1, pues su desarrollo por cualquier fila da el producto de unos en la diagonal menos los ceros restantes. El orden de la matriz no altera ese valor.

Question 6Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dada la matriz A = [[2, 1], [3, 4]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 5 Correct answer.
  2. 11
  3. −5
  4. 8

Explanation

En una matriz 2×2 el determinante se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: 2·4 − 1·3 = 8 − 3 = 5.

Question 7Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Si A es una matriz 3×3 con det(A) = 2, ¿cuál es el valor de det(2A)?

  1. 16 Correct answer.
  2. 2
  3. 8
  4. 4

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, su determinante queda multiplicado por k elevado a n. Aquí det(2A) = 2³·det(A) = 8·2 = 16.

Question 8Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada que verifica A² = A. ¿Cuál de los siguientes valores es compatible con esta condición para el determinante de A?

  1. Cualquier número real
  2. Solo 0
  3. 0 o 1 Correct answer.
  4. Solo 1

Explanation

Tomando determinantes en A² = A se obtiene det(A)² = det(A), es decir, det(A)(det(A) − 1) = 0. Por tanto el determinante solo puede valer 0 o 1.

Question 9Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

¿Para qué valores del parámetro k es invertible la matriz A = [[k, 2], [3, k]]?

  1. Para ningún valor de k
  2. Para todo k distinto de √6 y de −√6 Correct answer.
  3. Para todo k distinto de 6
  4. Para todo k distinto de 0

Explanation

La matriz es invertible cuando su determinante es no nulo: k·k − 2·3 = k² − 6. Igualando a cero resulta k = ±√6, de modo que la matriz tiene inversa para cualquier otro valor de k.

Question 10Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo con matriz de coeficientes A de orden 3×3. Si det(A) = 0, ¿qué puede afirmarse sobre sus soluciones?

  1. No tiene solución
  2. Tiene exactamente dos soluciones
  3. Tiene únicamente la solución trivial
  4. Tiene infinitas soluciones, incluida la trivial Correct answer.

Explanation

Todo sistema homogéneo es siempre compatible porque la solución nula lo satisface. Si det(A) = 0 el rango es menor que 3 y quedan parámetros libres, por lo que existen infinitas soluciones además de la trivial.

Question 11Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dadas A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[1, 0], [3, 1]], ¿cuál es el elemento de la primera fila y segunda columna de la matriz A·B?

  1. 1
  2. 3
  3. 7 Correct answer.
  4. 2

Explanation

El elemento (1,2) del producto se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B: 1·0 + 2·1 = 2. Conviene revisar la posición: la segunda columna de B es (0, 1).

Question 12Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 5, ¿cuál es el determinante de su matriz inversa A⁻¹?

  1. 5
  2. 1/5 Correct answer.
  3. −5
  4. 25

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, tomando determinantes se obtiene det(A)·det(A⁻¹) = 1, de donde det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/5. El determinante de la inversa es el inverso del determinante.

Question 13Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 cuyas filas segunda y tercera son iguales. ¿Qué se puede afirmar de su determinante?

  1. Es igual al producto de los elementos de la diagonal
  2. Depende del signo de las filas permutadas
  3. Es siempre positivo
  4. Es igual a cero Correct answer.

Explanation

Si dos filas de una matriz son iguales, son linealmente dependientes y el determinante se anula. Esta es una consecuencia directa de las propiedades de antisimetría y multilinealidad del determinante.

Question 14Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

¿Cuál es el rango de la matriz M = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]]?

  1. 3
  2. 1
  3. 0
  4. 2 Correct answer.

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, luego es dependiente y el rango no puede ser 3. Las filas primera y tercera no son proporcionales, de modo que el rango es 2.

Question 15Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dado el sistema x + y = 3, x − y = 1, ¿cuál es su solución?

  1. x = 1, y = 2
  2. x = 3, y = 0
  3. x = 2, y = 1 Correct answer.
  4. x = 0, y = 3

Explanation

Sumando ambas ecuaciones se obtiene 2x = 4, luego x = 2; sustituyendo en la primera, y = 1. El sistema es compatible determinado porque el determinante de la matriz de coeficientes vale −2, distinto de cero.

Question 16Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

En un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué indica que el rango de la matriz ampliada sea mayor que el rango de la matriz de coeficientes?

  1. Que el sistema tiene solución única
  2. Que el sistema es compatible indeterminado
  3. Que el sistema es compatible determinado
  4. Que el sistema es incompatible Correct answer.

Explanation

Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes el sistema no tiene solución. La compatibilidad exige la igualdad de ambos rangos.

Question 17Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sean A y B matrices cuadradas de orden 2. Si AB = I, ¿qué se deduce necesariamente?

  1. Que BA = I y B es la inversa de A Correct answer.
  2. Que det(A) = 0
  3. Que A y B son la matriz nula
  4. Que A = B

Explanation

Para matrices cuadradas del mismo orden, si AB = I entonces ambas son invertibles y B = A⁻¹, lo que implica también BA = I. Además det(A)·det(B) = 1, luego ninguno de los determinantes es nulo.

Question 18Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

¿Cuál es el determinante de la matriz triangular superior T = [[3, 5, 7], [0, 2, 4], [0, 0, −1]]?

  1. −6 Correct answer.
  2. 0
  3. 14
  4. 6

Explanation

En una matriz triangular el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: 3·2·(−1) = −6. Los elementos situados fuera de la diagonal no intervienen en el cálculo.

Question 19Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el determinante de la matriz traspuesta Aᵀ?

  1. 1/4
  2. 12
  3. 4 Correct answer.
  4. −4

Explanation

El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, ya que el desarrollo por filas de A es idéntico al desarrollo por columnas de Aᵀ. Por tanto det(Aᵀ) = det(A) = 4.

Question 20Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 5]], ¿cuál es el elemento (1,1) de su inversa A⁻¹?

  1. −5 Correct answer.
  2. −1
  3. 1
  4. 5

Explanation

El determinante es 1·5 − 2·3 = −1. La inversa se obtiene como (1/det(A))·[[5, −2], [−3, 1]], de modo que el elemento (1,1) es 5/(−1) = −5.

Question 21Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Se considera el sistema con parámetro a: ax + y = 1, x + ay = 1. ¿Para qué valor de a el sistema es incompatible?

  1. Para a = 1
  2. Para a = −1 Correct answer.
  3. Para ningún valor de a
  4. Para a = 0

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es a² − 1, que se anula en a = 1 y a = −1. Para a = 1 las dos ecuaciones coinciden y el sistema es indeterminado; para a = −1 las ecuaciones son contradictorias (−x + y = 1 y x − y = 1), luego es incompatible.

Question 22Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A³ = I. ¿Qué valores puede tomar det(A)?

  1. 1 o −1
  2. 0, 1 o −1
  3. Cualquier raíz cúbica compleja de la unidad
  4. Solo 1, ya que det(A)³ = 1 y el determinante es real Correct answer.

Explanation

Tomando determinantes en A³ = I resulta det(A)³ = 1. Como el determinante de una matriz real es un número real, la única raíz real de esa ecuación es 1, de modo que det(A) = 1.

Question 23Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 2. Se construye la matriz B intercambiando entre sí las filas primera y tercera de A y multiplicando después la segunda fila por 3. ¿Cuál es det(B)?

  1. −6 Correct answer.
  2. 12
  3. 6
  4. −2

Explanation

Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante, y multiplicar una fila por 3 lo multiplica por 3. Así det(B) = −3·det(A) = −3·2 = −6.

Question 24Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea el sistema homogéneo con matriz de coeficientes A de orden 3×3 y rango 2. ¿Cuál es la dimensión del conjunto de soluciones?

  1. 3
  2. 2
  3. 1 Correct answer.
  4. 0

Explanation

En un sistema homogéneo compatible, la dimensión del espacio de soluciones es el número de incógnitas menos el rango de la matriz de coeficientes: 3 − 2 = 1. Existe por tanto un parámetro libre.

Question 25Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Si A es una matriz cuadrada de orden n con det(A) ≠ 0, ¿qué ocurre con el sistema A·X = B para cualquier vector columna B?

  1. Solo tiene solución si B es el vector nulo
  2. Tiene solución única X = A⁻¹·B Correct answer.
  3. Tiene infinitas soluciones
  4. Puede no tener solución según B

Explanation

Si det(A) ≠ 0 la matriz es invertible, y multiplicando por A⁻¹ se obtiene X = A⁻¹·B, que existe y es única. El sistema es compatible determinado independientemente del término independiente B.

Question 26Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dadas las matrices A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[0, 1], [1, 0]], ¿cuál es el resultado del producto A·B?

  1. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.
  2. [[1, 3], [2, 4]]
  3. [[0, 2], [3, 0]]
  4. [[4, 3], [2, 1]]

Explanation

El producto se calcula fila por columna: la primera fila de A·B es (1·0+2·1, 1·1+2·0) = (2, 1) y la segunda es (3·0+4·1, 3·1+4·0) = (4, 3). Multiplicar por B a la derecha intercambia las columnas de A.

Question 27Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = −3. Si se multiplica la segunda fila de A por 4 para obtener B, ¿cuál es el valor de det(B)?

  1. −3
  2. −12 Correct answer.
  3. −48
  4. 12

Explanation

Al multiplicar una sola fila de una matriz cuadrada por un escalar k, el determinante queda multiplicado por ese mismo k. Por tanto det(B) = 4·det(A) = 4·(−3) = −12.

Question 28Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

¿Cuál es el rango de la matriz A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 3
  4. 0

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo quedan dos filas independientes. Las filas (1,2,3) y (1,0,1) no son proporcionales, por lo que el rango es exactamente 2.

Question 29Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 que verifica A² = 2A. Si A no es la matriz nula, ¿qué valores puede tomar det(A)?

  1. Solo 4
  2. 0 o 4 Correct answer.
  3. Solo 0
  4. 2 o −2

Explanation

Tomando determinantes en A² = 2A se obtiene (det A)² = 4·det A, es decir det(A)·(det A − 4) = 0. Por tanto det(A) es 0 o 4, y ambas posibilidades son compatibles con matrices no nulas.

Question 30Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea el sistema x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6, x − y = 0. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible determinado con solución única
  2. Compatible indeterminado con dos grados de libertad
  3. Compatible indeterminado con un grado de libertad Correct answer.
  4. Incompatible, sin solución

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que no aporta información nueva. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas, de modo que el sistema es compatible indeterminado con 3 − 2 = 1 grado de libertad.

Question 31Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A·A = A (matriz idempotente). ¿Qué se puede afirmar sobre su determinante?

  1. det(A) puede ser cualquier número real
  2. det(A) es necesariamente 0
  3. det(A) es 0 o 1 Correct answer.
  4. det(A) es necesariamente 1

Explanation

De A² = A, tomando determinantes, resulta (det A)² = det A, luego det(A)·(det A − 1) = 0. Así el determinante solo puede valer 0 o 1, y ambos casos se alcanzan con matrices idempotentes.

Question 32Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dada la matriz A = [[2, 1], [5, 3]], ¿cuál es la matriz inversa A⁻¹?

  1. [[3, 1], [5, 2]]
  2. [[−3, 1], [5, −2]]
  3. [[3, −1], [−5, 2]] Correct answer.
  4. [[2, −1], [−5, 3]]

Explanation

Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] la inversa es (1/(ad−bc))·[[d,−b],[−c,a]]. Aquí ad−bc = 6 − 5 = 1, por lo que A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]].

Question 33Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Se considera el sistema con parámetro a: x + ay = 1, ax + y = a. ¿Para qué valor de a el sistema es incompatible?

  1. Ningún valor de a lo hace incompatible
  2. a = −1 Correct answer.
  3. a = 1
  4. a = 0

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es 1 − a², que se anula para a = 1 y a = −1. Para a = 1 el sistema es compatible indeterminado, pero para a = −1 las ecuaciones resultan x − y = 1 y −x + y = −1, es decir x − y = 1 y x − y = 1 con signo opuesto, lo que da 0 = 2 y el sistema es incompatible.

Question 34Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2 y sea B la matriz que se obtiene sumando a la primera fila de A su tercera fila. ¿Cuál es det(B)?

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 6
  4. 4

Explanation

Sumar a una fila otra fila de la misma matriz es una operación elemental que no modifica el determinante. Por tanto det(B) = det(A) = 2.

Question 35Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sean A y B matrices cuadradas de orden 2. Si det(A) = 3 y det(B) = −2, ¿cuál es el valor de det(A·B⁻¹)?

  1. −2/3
  2. −6
  3. −3/2 Correct answer.
  4. 3/2

Explanation

El determinante de un producto es el producto de determinantes y el de una inversa es el inverso del determinante. Así det(A·B⁻¹) = det(A)/det(B) = 3/(−2) = −3/2.

Question 36Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 0. ¿Qué se puede afirmar necesariamente sobre el sistema A·X = B?

  1. Tiene solución única para todo B
  2. Es siempre incompatible
  3. Tiene infinitas soluciones para todo B
  4. No tiene solución única, sea cual sea B Correct answer.

Explanation

Si det(A) = 0, la matriz A no es invertible y el sistema no puede resolverse de forma única mediante X = A⁻¹B. Según el vector B, el sistema será incompatible o compatible indeterminado, pero nunca determinado.

Question 37Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz de orden 3×3 cuyas columnas son linealmente independientes. ¿Qué se deduce sobre el sistema A·X = 0?

  1. Su única solución es X = 0 Correct answer.
  2. Tiene infinitas soluciones distintas de la trivial
  3. Es incompatible
  4. Su conjunto de soluciones tiene dimensión 2

Explanation

Que las columnas sean independientes equivale a que el rango de A sea 3 y, por tanto, a que det(A) ≠ 0. Un sistema homogéneo con matriz de coeficientes invertible solo admite la solución trivial.

Question 38Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 5. Se forma la matriz B = 2A·Aᵀ. ¿Cuál es el valor de det(B)?

  1. 1000
  2. 500
  3. 2000 Correct answer.
  4. 40

Explanation

Se tiene det(B) = det(2A)·det(Aᵀ) = 2³·det(A)·det(A) = 8·5·5 = 2000, ya que al escalar una matriz 3×3 por 2 el determinante se multiplica por 2³.

Question 39Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Dada la matriz A = [[1, 2, 0], [0, 1, 3], [2, 0, 1]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 5
  2. 13 Correct answer.
  3. 1
  4. −1

Explanation

Desarrollando por la primera fila: 1·(1·1 − 3·0) − 2·(0·1 − 3·2) + 0 = 1 + 12 = 13. Conviene comprobar los menores con signo alternado al aplicar la regla de Laplace.

Question 40Matrices, determinants and systems of linear equations (Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales)

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3. Si A·B = A y det(A) ≠ 0, ¿qué se puede concluir?

  1. B es la matriz nula
  2. B es la matriz identidad Correct answer.
  3. det(B) = det(A)
  4. B = A⁻¹

Explanation

Como det(A) ≠ 0, la matriz A es invertible y podemos multiplicar A·B = A por A⁻¹ a la izquierda, obteniendo B = A⁻¹A = I. La condición de determinante no nulo es imprescindible para cancelar A.

Question 41Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

En el espacio, dados los vectores u = (1, 2, 3) y v = (2, -1, 0), ¿cuál es el resultado del producto vectorial u × v?

  1. (-3, 6, -5)
  2. (3, 6, 5)
  3. (3, -6, -5)
  4. (3, 6, -5) Correct answer.

Explanation

El producto vectorial se calcula con el determinante simbólico: primera componente 2·0 - 3·(-1) = 3; segunda componente 3·2 - 1·0 = 6; tercera componente 1·(-1) - 2·2 = -5. Por tanto u × v = (3, 6, -5), que además es perpendicular a ambos vectores, como exige la definición.

Question 42Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(1, -2, 3) y tiene vector director d = (2, 1, -1)?

  1. (x, y, z) = (-1, 2, -3) + t(2, 1, -1)
  2. (x, y, z) = (1, -2, 3) + t(2, -1, 1)
  3. (x, y, z) = (2, 1, -1) + t(1, -2, 3)
  4. (x, y, z) = (1, -2, 3) + t(2, 1, -1) Correct answer.

Explanation

La ecuación vectorial de una recta es X = P + t·d, donde P es un punto de la recta y d un vector director. Sustituyendo P = (1, -2, 3) y d = (2, 1, -1) se obtiene directamente (x, y, z) = (1, -2, 3) + t(2, 1, -1), válida para todo t real.

Question 43Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

El plano π tiene ecuación general 2x - y + 3z - 6 = 0. ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector normal a π?

  1. (2, 3, -6)
  2. (2, -1, 3) Correct answer.
  3. (1, -1, 1)
  4. (-1, 3, -6)

Explanation

En la ecuación general ax + by + cz + d = 0, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano. Aquí a = 2, b = -1, c = 3, de modo que (2, -1, 3) es el vector normal. El término independiente d = -6 no interviene en la dirección normal.

Question 44Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1), ¿cuál es la ecuación general del plano que los contiene?

  1. 2x + y + z - 1 = 0
  2. x + y + z - 1 = 0 Correct answer.
  3. x + y + z + 1 = 0
  4. x - y + z - 1 = 0

Explanation

Los tres puntos son los cortes con los ejes de un plano en forma segmentaria x/1 + y/1 + z/1 = 1, que equivale a x + y + z - 1 = 0. También se obtiene resolviendo con el vector normal AB × AC = (1, 1, 1) y exigiendo que pase por A.

Question 45Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

¿Qué posición relativa tienen los planos π1: x + 2y - z = 3 y π2: 2x + 4y - 2z = 5?

  1. Se cortan en un único punto
  2. Son paralelos y no coincidentes Correct answer.
  3. Son coincidentes
  4. Se cortan en una recta

Explanation

Los vectores normales (1, 2, -1) y (2, 4, -2) son proporcionales, luego los planos son paralelos o coincidentes. Como los términos independientes 3 y 5 no guardan la misma proporción que los coeficientes, no son coincidentes: son planos paralelos distintos.

Question 46Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

Calcula la distancia del punto P(1, 2, 2) al plano π: x + y + z - 3 = 0.

  1. 2/3
  2. √3/3
  3. √3
  4. 2√3/3 Correct answer.

Explanation

La distancia de un punto a un plano es |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²). Sustituyendo: |1 + 2 + 2 - 3| / √3 = 2/√3 = 2√3/3. Racionalizar el denominador no altera el valor, solo la forma de expresarlo.

Question 47Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

Dos rectas en el espacio con vectores directores no proporcionales que se cruzan sin cortarse se denominan:

  1. Rectas coincidentes
  2. Rectas paralelas
  3. Rectas secantes
  4. Rectas que se cruzan Correct answer.

Explanation

En el espacio, dos rectas con direcciones distintas pueden ser coplanarias y cortarse en un punto (secantes) o no ser coplanarias y no cortarse nunca (se cruzan). La condición de cruce se detecta cuando el producto mixto de los vectores directores y el vector entre puntos es distinto de cero.

Question 48Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

¿Cuál es el producto escalar de u = (3, -1, 2) y v = (1, 4, 1)?

  1. -1
  2. 5
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

El producto escalar se obtiene sumando los productos de las componentes correspondientes: 3·1 + (-1)·4 + 2·1 = 3 - 4 + 2 = 1. Es un número real, no un vector, y su signo informa del ángulo entre los vectores.

Question 49Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

Halla el ángulo que forman los vectores u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1).

  1. 90°
  2. 45°
  3. 30°
  4. 60° Correct answer.

Explanation

Se usa cos θ = (u·v)/(|u||v|). Aquí u·v = 1, |u| = √2 y |v| = √2, luego cos θ = 1/2, de donde θ = 60°. El resultado es coherente porque ambos vectores tienen módulo √2 y forman un ángulo agudo.

Question 50Vectors and geometry in space (Vectores y geometría del espacio: rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos)

Determina la ecuación general del plano que pasa por el punto P(2, 1, -1) y tiene como vectores directores u = (1, 0, 2) y v = (0, 1, 1).

  1. 2x - y - z - 2 = 0
  2. 2x + y + z - 4 = 0
  3. 2x + y - z - 6 = 0 Correct answer.
  4. x + y - 2z - 5 = 0

Explanation

El vector normal es u × v = (0·1 - 2·1, 2·0 - 1·1, 1·1 - 0·0) = (-2, -1, 1), equivalente a (2, 1, -1). Imponiendo que pase por P: 2·2 + 1·1 - 1·(-1) + d = 0 da d = -6, luego 2x + y - z - 6 = 0.