Coste por tramos en la conservera: continuidad, derivabilidad y beneficio máximo
Una conservera de atún procesa x toneladas diarias y su servicio de estudios ha ajustado el coste diario C(x), en miles de euros, con dos tramos: C(x) = x² + a·x + b si 0 ≤ x ≤ 5, y C(x) = 20·e^((x−5)/5) si x > 5. La auditoría exige que el coste sea continuo y derivable en el punto de cambio x = 5, y ha medido que C(5) = 20 y que el coste marginal en ese punto vale 4 (miles de euros por tonelada). La planta vende cada tonelada a 10 mil euros y, por limitaciones de frío, no puede superar las 12 toneladas diarias. La dirección quiere fijar el volumen de producción que maximiza el beneficio, revisando los dos tramos y la restricción, y saber además cómo afectará a ese beneficio óptimo una subida del precio de venta de 0,4 mil euros por tonelada cada mes. Un técnico advierte de que el coste marginal cambia de pendiente justo en x = 5.
1. Determina a y b usando la continuidad y la derivabilidad en x = 5 y explica qué ocurre con la segunda derivada en ese punto.
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Continuidad en x = 5: lim(x→5⁻) C(x) = 25 + 5a + b y lim(x→5⁺) C(x) = 20·e⁰ = 20; como C(5) = 20, se exige 25 + 5a + b = 20 (ecuación 1).
Derivabilidad: en el primer tramo C′(x) = 2x + a → C′(5⁻) = 10 + a; en el segundo C′(x) = 20·(1/5)·e^((x−5)/5) → C′(5⁺) = 4. Igualando: 10 + a = 4 → a = −6.
Sustituyendo en (1): 25 − 30 + b = 20 → b = 25. Así, C(x) = x² − 6x + 25 para 0 ≤ x ≤ 5.
Aviso del técnico: C es derivable en 5, pero C″(5⁻) = 2 y C″(5⁺) = (4/5)·e⁰ = 0,8. La segunda derivada no existe allí: hay un cambio brusco de pendiente del coste marginal. Continuidad y derivabilidad no garantizan que el modelo sea suave; si se exigiera C″ continua habría que descartar esta familia de ajustes.
2. Calcula la producción diaria que maximiza el beneficio, comparando los dos tramos y la restricción de 12 toneladas.
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Tramo 0 ≤ x ≤ 5: B(x) = 10x − (x² − 6x + 25) = −x² + 16x − 25; B′(x) = −2x + 16 = 0 → x = 8, que cae fuera del tramo. Como B′ > 0 en [0, 5], el máximo del tramo está en el extremo x = 5: B(5) = 30 mil €.
Tramo x > 5: B(x) = 10x − 20·e^((x−5)/5); B′(x) = 10 − 4·e^((x−5)/5) = 0 → e^((x−5)/5) = 2,5 → x* = 5 + 5·ln 2,5 ≈ 9,58 t (< 12, admisible). B″(x) = −(4/5)·e^((x−5)/5) < 0, luego es un máximo.
B(x*) = 10(5 + 5·ln 2,5) − 20·2,5 = 50 + 50·ln 2,5 − 50 = 50·ln 2,5 ≈ 45,8 mil €.
Comparación obligatoria: B(5) = 30 mil €, B(12) = 120 − 20·e^1,4 ≈ 38,9 mil € y B(x*) ≈ 45,8 mil €. El óptimo global es x* ≈ 9,58 t. No basta con anular la derivada: hay que comprobar que el punto crítico cae en su tramo y compararlo con los extremos.
3. Si el precio de venta p sube a razón de 0,4 mil euros por tonelada cada mes, ¿a qué ritmo crece el beneficio máximo? Interpreta el resultado.
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Con precio p, el óptimo interior cumple p = C′(x*): p = 4·e^((x*−5)/5) → x* = 5 + 5·ln(p/4). Para p = 10, x* ≈ 9,58 t, por debajo de la capacidad de 12 t, así que la restricción no está activa.
El beneficio óptimo es B*(p) = p·x*(p) − C(x*(p)). Derivando respecto de p:
dB*/dp = x* + (p − C′(x*))·(dx*/dp) = x*, porque en el óptimo p = C′(x*) y el paréntesis se anula.
Numéricamente, dB*/dp ≈ 9,58 mil € por cada mil €/t de subida. Con un incremento mensual de 0,4: 9,58 · 0,4 ≈ 3,83 mil € más de beneficio al mes.
Lectura de gestión: el beneficio extra depende de las toneladas que realmente se venden en el óptimo; el reajuste de la producción aporta una corrección de segundo orden. Por eso el dato de 9,58 t, y no el de 12 t de capacidad, es el que debe usarse en la previsión.