El depósito de perfil parabólico: capacidad, media altura y error de catálogo
Una bodega de Tenerife encarga un depósito de acero para almacenar agua de riego. El perfil interior, medido desde la base, tiene dos tramos: entre 0 y 4 m de altura el radio interior es r(h) = √h metros, y entre 4 y 6 m el depósito es cilíndrico de radio 2 m. La altura total es de 6 m y el espesor de la chapa se considera despreciable en el cálculo de capacidad. El fabricante ha enviado un catálogo en el que anuncia una capacidad de 24π metros cúbicos, calculada como si todo el depósito fuese cilíndrico de radio 2 m. La bodega quiere conocer la capacidad real, saber a qué altura queda lleno hasta la mitad y valorar el error del catálogo antes de firmar el contrato. El ingeniero advierte de que la expresión del volumen cambia al pasar de 4 m y de que hay que comprobar en qué tramo cae la solución antes de darla por buena.
1. Calcula la capacidad total del depósito justificando el planteamiento integral.
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El radio cambia de expresión en h = 4, así que hay que partir la integral y usar el método de los discos, V = π∫ r(h)² dh:
V = π∫₀⁴ (√h)² dh + π∫₄⁶ 2² dh = π∫₀⁴ h dh + 4π∫₄⁶ dh.
π∫₀⁴ h dh = π·[h²/2]₀⁴ = π·8 = 8π; 4π·(6 − 4) = 8π.
V = 8π + 8π = 16π ≈ 50,27 m³ (unos 50.265 litros).
Control de coherencia: el resultado debe quedar entre el de un cilindro de radio 2 y altura 4 (16π) y el de radio 2 y altura 6 (24π). El valor 16π es correcto porque, salvo en h = 4, el radio del tramo inferior es estrictamente menor que 2, de modo que el depósito nunca puede alcanzar la capacidad del cilindro de radio constante.
2. Determina a qué altura el depósito está lleno hasta la mitad, comprobando previamente en qué tramo se encuentra la solución.
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La mitad de la capacidad es 8π m³. Hay que decidir en qué tramo está la altura H buscada; no se puede aplicar una fórmula sin justificar su validez.
Hipótesis H ≤ 4: V(H) = π∫₀^H h dh = πH²/2 = 8π → H² = 16 → H = 4 m (la raíz negativa carece de sentido).
Verificación: H = 4 cae justo en el límite del tramo, así que la fórmula empleada es aplicable. Además, para H > 4 sería V(H) = 8π + 4π(H − 4) > 8π, luego no existe otra solución.
Respuesta: el depósito está medio lleno a 4 m de altura, no a 3 m. El tramo parabólico es más estrecho y aporta la misma capacidad (8π) que los 2 m cilíndricos superiores, de ahí que la mitad coincida con el cambio de perfil. Es una coincidencia numérica de este diseño, no una regla general: en otro depósito la mitad podría caer en el tramo cilíndrico y habría que resolver la ecuación lineal correspondiente.
3. Evalúa la cifra del catálogo: identifica el error, cuantifica la desviación y valora si procede firmar.
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El catálogo aplica la fórmula del cilindro con el radio máximo (2 m) a toda la altura: π·2²·6 = 24π. El error está en usar r = 2 también entre 0 y 4 m, donde el radio real es √h < 2, y en ignorar que el volumen es π∫ r(h)² dh, no π·r²·h con un radio único.
- Capacidad real: 16π ≈ 50,27 m³ (50.265 litros).
- Catálogo: 24π ≈ 75,40 m³ (75.398 litros).
- Sobrevaloración: 8π ≈ 25,13 m³, un 50 % más de lo que cabe (8π/16π = 0,5).
Decisión: no se debe firmar con la cifra del catálogo. El depósito real almacena dos tercios de lo anunciado, lo que afecta al dimensionado de la instalación de riego, al número de riegos por semana y a la garantía contractual. La reclamación debe apoyarse en el cálculo integral, no en una estimación aproximada.