Sobreventa en el hotel: Bayes, binomial y normal en la misma noche
Un hotel de 25 habitaciones en Maspalomas registra dos canales de reserva: el 40 % llega a través de un turoperador y el 60 % restante se reserva directamente. El histórico indica que cancela el 12 % de las reservas de turoperador y solo el 5 % de las directas. Para una noche concreta de temporada alta la dirección estudia aceptar 26 reservas para las 25 habitaciones, asumiendo que cada reserva confirmada se comporta de forma independiente y que la probabilidad de que un cliente se presente es 0,9. Además, el gasto por habitación ocupada sigue una distribución normal de media 150 euros y desviación típica 40 euros, independiente entre habitaciones. La dirección quiere cuantificar el riesgo de tener que realojar clientes, valorar si la sobreventa compensa y estimar la probabilidad de que el gasto total en una noche con las 25 habitaciones ocupadas supere los 4.100 euros.
1. Calcula la probabilidad de que una reserva se cancele y la probabilidad de que, sabiendo que se ha cancelado, proceda de un turoperador. Interpreta el resultado.
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Sean T = reserva de turoperador, D = directa y C = cancelación. Datos: P(T) = 0,40, P(D) = 0,60, P(C|T) = 0,12, P(C|D) = 0,05.
Probabilidad total: P(C) = 0,40·0,12 + 0,60·0,05 = 0,048 + 0,030 = 0,078 (7,8 %).
Bayes: P(T|C) = P(C|T)·P(T)/P(C) = 0,048/0,078 = 8/13 ≈ 0,615.
Interpretación: el turoperador aporta solo el 40 % de las reservas, pero genera casi el 62 % de las cancelaciones. La palanca para reducir la incertidumbre está en renegociar condiciones con ese canal, no en el directo. Obsérvese que la respuesta correcta no es 0,12: esa es la probabilidad condicionada en el otro sentido, y confundir ambas es el error típico.
2. Con 26 reservas aceptadas y probabilidad 0,9 de presentarse cada cliente, calcula el riesgo de sobreventa y valora si la operación compensa.
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Sea X el número de clientes que se presentan: X ~ B(26; 0,9). Hay sobreventa solo si se presentan los 26, ya que hay 25 habitaciones.
P(X = 26) = 0,9²⁶ ≈ 0,0646 (6,5 %).
Contraste con el valor esperado: E[X] = 26·0,9 = 23,4 clientes, de modo que en una noche típica sobran habitaciones; el riesgo se concentra en la cola de la distribución. Aceptar 26 reservas añade 0,9 clientes esperados frente a aceptar 25, a cambio de un 6,5 % de noches con un cliente sin habitación.
Decisión económica: el ingreso esperado adicional ronda 0,9·150 = 135 €; el coste esperado del realojo es 0,065 · coste del realojo. Si realojar cuesta 300 €, el coste esperado es 19,5 € y la sobreventa compensa claramente; si el realojamiento incluyera compensaciones superiores a 2.000 €, la política sería ruinosa. La decisión exige comparar esperanzas, no solo mirar la probabilidad del 6,5 %.
3. Si las 25 habitaciones están ocupadas, calcula la probabilidad de que el gasto total supere los 4.100 euros, indicando la distribución del gasto total.
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El gasto de cada habitación es N(150, 40) y las 25 son independientes; la suma de normales independientes es normal con:
μ_S = 25·150 = 3.750 €; σ_S = √25·40 = 5·40 = 200 €.
Tipificando Z = (S − 3.750)/200:
P(S > 4.100) = P(Z > (4.100 − 3.750)/200) = P(Z > 1,75) = 1 − 0,9599 = 0,0401 (≈ 4 %).
Comentario que evita el error habitual: la desviación típica del total crece con √n, no con n; por eso P(S > 4.100) no coincide con la probabilidad de que una sola habitación supere 164 € (que sería P(Z > 0,35) ≈ 0,36). Sumar desviaciones típicas en lugar de varianzas daría un resultado muy distinto. Además, la normalidad del total ampara el cálculo aunque el gasto individual no fuese perfectamente simétrico, por el teorema central del límite.