Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque abre habitualmente la prueba de Matemáticas II en Canarias con una cuestión de matrices y un problema de sistemas con parámetro. Se evalúa el dominio del rango como criterio de compatibilidad, el cálculo de determinantes e inversas y la capacidad de discutir un sistema separando los valores del parámetro que anulan el determinante.
Rango, determinantes e inversa
- El rango es el orden del mayor menor no nulo; si A es cuadrada de orden n y det A ≠ 0, entonces rango(A) = n.
- Propiedades: det(AB) = det A · det B; det(Aᵀ) = det A; det(A⁻¹) = 1/det A; det(kA) = kⁿ·det A.
- Inversa por adjuntos: A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det A, solo si det A ≠ 0; conviene comprobar A·A⁻¹ = I.
- Si una fila o columna es combinación lineal de las demás, el determinante se anula y el rango baja.
Discusión de sistemas (Rouché-Frobenius)
Con A la matriz de coeficientes y A* la ampliada: si rango(A) < rango(A*), el sistema es incompatible; si rango(A) = rango(A*) = n (número de incógnitas), es compatible determinado y se resuelve por Cramer o por sustitución; si rango(A) = rango(A*) = r < n, es compatible indeterminado con n − r parámetros. Los valores del parámetro que anulan |A| se estudian aparte, sustituyéndolos en A*.
Ejemplo resuelto
Sistema: x + y + z = 1; x + y + az = 1; x + ay + z = 1. Desarrollando por la primera fila: |A| = (1 − a²) − (1 − a) + (a − 1) = −(a − 1)². Si a ≠ 1, el determinante no es nulo y el sistema es compatible determinado: restando la primera ecuación a la segunda resulta (a − 1)z = 0, luego z = 0; restando la primera a la tercera, (a − 1)y = 0, luego y = 0; y entonces x = 1. Si a = 1, las tres ecuaciones se reducen a x + y + z = 1: rango(A) = rango(A*) = 1 < 3, compatible indeterminado con dos parámetros, cuya solución es (1 − λ − μ, λ, μ).
Errores que restan puntos
- Discutir solo con |A| y no comprobar el rango de la ampliada en los valores singulares.
- Dividir por (a − 1) sin separar el caso a = 1.
- Aplicar Cramer con determinante nulo o confundir el número de ecuaciones con el de incógnitas.
- No dar la solución paramétrica completa cuando el sistema es indeterminado.