Vectores y geometría del espacio: rectas, planos, posiciones relativas, distancias y ángulos
La geometría del espacio aporta en la PAU canaria un problema de varias partes: obtener rectas y planos con condiciones dadas, estudiar posiciones relativas y calcular distancias o ángulos. El examen comprueba el manejo de vectores (producto escalar, vectorial y mixto) y la traducción geométrica de los rangos de un sistema de ecuaciones lineales.
Herramientas básicas
- Dependencia lineal: tres vectores son coplanarios si su producto mixto [u, v, w] = 0; el volumen del paralelepípedo es |[u, v, w]| y el del tetraedro, 1/6 de ese valor.
- Recta: punto más vector director, en forma paramétrica, continua o implícita (intersección de dos planos).
- Plano: punto y vector normal, ax + by + cz + d = 0; si se dan tres puntos, la normal es el producto vectorial de dos vectores del plano.
- Posiciones relativas: se estudia el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada del sistema formado por las ecuaciones. Dos planos coinciden si son proporcionales; son paralelos si los rangos difieren; se cortan en una recta si el rango es 2.
- Distancias: punto-plano, |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²); punto-recta, |AP × v|/|v|; entre rectas que se cruzan, |AP · (v × w)|/|v × w|.
- Ángulos: entre planos, cos θ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|); entre recta y plano, sen θ = |v·n|/(|v||n|).
Ejemplo resuelto
Hallar el simétrico de P(1, 1, 1) respecto del plano π: x + y − z = 0. La normal es n = (1, 1, −1) y |n|² = 3. Evaluando el plano en P: 1 + 1 − 1 = 1. La proyección ortogonal es Q = P − (1/3)(1, 1, −1) = (2/3, 2/3, 4/3), que satisface la ecuación del plano. El simétrico es P' = 2Q − P = (1/3, 1/3, 5/3), y se comprueba que el punto medio de P y P' es Q.
Errores que restan puntos
- Confundir el vector director de la recta con el vector normal del plano.
- Usar coseno en el ángulo recta-plano (corresponde el seno, porque se mide respecto a la normal).
- No normalizar la normal al calcular distancias, o olvidar el valor absoluto.
- Dar un punto y un vector en lugar de la ecuación completa cuando se pide explícitamente una forma concreta.