Límites, continuidad y derivabilidad
En la PAU de Canarias este bloque suele concretarse en una función definida a trozos con un parámetro: estudiar continuidad y derivabilidad, y en ocasiones aplicar Bolzano o el teorema de Lagrange. Se evalúa si el alumno distingue con claridad los tres conceptos y calcula límites indeterminados con seguridad.
Límites y continuidad
- Indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞: se resuelven factorizando, con equivalencias (sen x ~ x, 1 − cos x ~ x²/2, ln(1 + x) ~ x, eˣ − 1 ~ x) o con L'Hôpital.
- L'Hôpital solo es válido en 0/0 o ∞/∞ y se deriva numerador y denominador por separado, no como cociente.
- f es continua en x = a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden; si falla algo hay discontinuidad evitable, de salto finito o infinita.
- En una función a trozos, la continuidad exige igualar los límites laterales con el valor de la función en el punto de unión.
Derivabilidad
- f'(a) = lím(h→0) [f(a + h) − f(a)]/h; en funciones definidas a trozos se igualan las derivadas laterales calculadas dentro de cada trozo.
- Derivabilidad implica continuidad, pero no al revés (|x| en x = 0).
- Teoremas: Bolzano (f continua en [a, b] con cambio de signo ⇒ existe c con f(c) = 0); Rolle (f(a) = f(b) ⇒ existe c con f'(c) = 0); Lagrange (existe c con f'(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a)).
Ejemplo resuelto
Sea f(x) = x² + ax + b si x < 1 y f(x) = ln x si x ≥ 1. Continuidad en x = 1: el límite por la izquierda es 1 + a + b, el límite por la derecha es ln 1 = 0 y f(1) = 0; por tanto 1 + a + b = 0. Derivabilidad: para x < 1, f'(x) = 2x + a, y para x > 1, f'(x) = 1/x. Igualando los valores en x = 1 resulta 2 + a = 1, es decir a = −1, y de la condición de continuidad b = 0.
Errores que restan puntos
- Imponer solo la continuidad y dar por hecho que la función ya es derivable.
- Derivar el trozo y evaluar en el punto sin haber comprobado antes la continuidad.
- Aplicar L'Hôpital a formas que no son indeterminadas o derivar el cociente en lugar de cada término.
- Usar Bolzano en intervalos abiertos o con funciones que no son continuas en todo el intervalo.