Aplicaciones de la derivada: optimización, tasas de cambio y gráficas
Este apartado de la PAU canaria transforma la derivada en información sobre la función: crecimiento, extremos, curvatura, asíntotas y problemas de optimización con enunciado geométrico o cotidiano. También aparecen tasas de cambio y la interpretación de la derivada como pendiente de la recta tangente.
Reglas de análisis
- f'(x) > 0 ⇒ f crece; f'(x) < 0 ⇒ f decrece. Los candidatos a extremo son los puntos con f'(x) = 0 (Fermat) y los puntos donde f' no existe.
- f''(x) > 0 ⇒ cóncava hacia arriba (mínimo relativo si f' = 0); f''(x) < 0 ⇒ cóncava hacia abajo. Los puntos de inflexión exigen cambio de signo de f''.
- Asíntota vertical si el límite lateral es infinito; horizontal si lím(x→±∞) f(x) = L; oblicua y = mx + n con m = lím f(x)/x y n = lím [f(x) − mx], y solo si no hay horizontal en ese infinito.
- En un intervalo cerrado, el extremo absoluto se busca entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.
Optimización paso a paso
- Definir las variables y la función objetivo. 2. Escribir la restricción. 3. Sustituir para dejar una sola variable. 4. Derivar e igualar a cero. 5. Comprobar con f'' o con el signo de f' que es máximo o mínimo, dentro del dominio con sentido físico.
Ejemplo resuelto
Una caja sin tapa de base cuadrada debe tener volumen 32 m³. Minimizar la superficie. Si x es el lado de la base y h la altura: x²h = 32, luego h = 32/x². La superficie es S(x) = x² + 4xh = x² + 128/x. S'(x) = 2x − 128/x² = 0 ⇒ x³ = 64 ⇒ x = 4 y h = 2. Como S''(x) = 2 + 256/x³ > 0, es un mínimo; la superficie mínima es 16 + 32 = 48 m².
Errores que restan puntos
- Dar el extremo sin justificar que es máximo o mínimo.
- Olvidar comprobar los extremos del intervalo cuando se pide el extremo absoluto.
- Calcular la asíntota oblicua cuando ya existe horizontal en ese infinito.
- No comprobar que el valor hallado pertenece al dominio del problema.
- Confundir punto de inflexión con extremo: la inflexión requiere cambio de signo de f''.