Integrales: cálculo de primitivas, integral definida, áreas y volúmenes
La integración en la PAU canaria aparece en dos frentes: el cálculo de primitivas (inmediatas, cambio de variable, por partes y racionales sencillas) y la aplicación de la integral definida al cálculo de áreas y volúmenes de revolución. Se valora tanto la técnica como la correcta aplicación de la regla de Barrow y la interpretación geométrica.
Técnicas y propiedades
- Primitivas inmediatas: potencias, exponenciales, logaritmos, trigonométricas; ajustar constantes antes de integrar.
- Cambio de variable cuando aparece una función y su derivada (o un factor proporcional).
- Por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; típico con xⁿ·eˣ, xⁿ·ln x, xⁿ·sen x.
- Racionales: descomposición en fracciones simples según las raíces del denominador.
- Propiedades de la integral definida: linealidad, ∫ₐᵃ = 0, ∫ₐᵇ = −∫ᵦᵃ, aditividad (Chasles).
- Barrow: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), con F una primitiva cualquiera de f.
- Área entre curvas: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, con los cortes calculados previamente; volumen al girar alrededor del eje X: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
Ejemplo resuelto
Calcular ∫₁^e ln x dx. Tomando u = ln x y dv = dx, se tiene du = dx/x y v = x, luego ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x. Aplicando Barrow: [x ln x − x]₁^e = (e·1 − e) − (1·0 − 1) = 0 + 1 = 1. El resultado es positivo, coherente con que ln x > 0 en (1, e), y equivale al área del recinto limitado por y = ln x, el eje X y x = e.
Errores que restan puntos
- Olvidar la constante de integración en primitivas indefinidas (no en la definida).
- No ajustar el signo o la constante al hacer un cambio de variable y no cambiar los límites.
- Calcular áreas sin localizar los puntos de corte o sin valor absoluto cuando la función cambia de signo.
- Confundir el volumen (π∫f²) con el área (∫f) y olvidar el factor π.
- Elegir mal u y dv en la integración por partes.