Probabilidad y estadística: probabilidad condicionada, distribuciones binomial y normal
En la PAU canaria este bloque suele pedir dos cosas: resolver un problema de probabilidad condicionada con probabilidad total o Bayes, y manejar una variable binomial o normal. Se evalúa el planteamiento correcto del árbol o de la tabla de contingencia y el uso de la tabla de la normal tipificada.
Probabilidad condicionada y Bayes
- P(A|B) = P(A∩B)/P(B), con P(B) > 0. De ahí P(A∩B) = P(A|B)·P(B).
- A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)·P(B), equivalentemente P(A|B) = P(A).
- Probabilidad total: P(B) = Σ P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) para una partición.
- Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / Σ P(Aⱼ)·P(B|Aⱼ).
Distribuciones
- Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con media np y varianza np(1 − p).
- Al menos/ninguno/a lo sumo: usar el complementario y sumar los casos necesarios.
- Normal N(μ, σ): tipificar Z = (X − μ)/σ y usar la simetría Φ(−z) = 1 − Φ(z).
- Aproximación binomial → normal cuando np > 5 y n(1 − p) > 5, con μ = np, σ = √(np(1 − p)) y corrección por continuidad de 0,5.
Ejemplo resuelto
Una fábrica produce con dos máquinas: A aporta el 60 % de las piezas con un 2 % de defectuosas, y B el 40 % con un 5 % de defectuosas. Se toma una pieza al azar. P(defectuosa) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Probabilidad de proceder de A sabiendo que es defectuosa: P(A|D) = 0,012/0,032 = 0,375. El denominador es la probabilidad total y el numerador, la rama concreta del árbol: no hay que rehacer el cálculo completo.
Errores que restan puntos
- Intercambiar P(A|B) con P(B|A) al aplicar Bayes.
- Olvidar multiplicar por la probabilidad de la rama inicial en la probabilidad total.
- Tipificar mal usando la varianza en lugar de la desviación típica.
- Usar la corrección de continuidad salvo cuando se aproxima una discreta por una normal.
- No aprovechar la simetría de la normal y equivocarse con el signo del valor z.