Placa soporte con arco cóncavo de R40: dos soluciones y un radio límite
En el taller de utillajes de una empresa de Almendralejo se está definiendo la silueta de una placa soporte que después se cortará por láser. El contorno viene fijado por dos circunferencias: la mayor, de radio 18 mm y centro O1, y la menor, de radio 12 mm y centro O2, con O1 y O2 separados 70 mm sobre una misma horizontal. El borde superior se cierra con un arco cóncavo de radio 40 mm tangente exterior a las dos circunferencias; el borde inferior, con las dos tangentes exteriores comunes. En el lado izquierdo, una recta vertical situada a 30 mm a la izquierda de O1 debe enlazar con la circunferencia mayor mediante un acuerdo de radio 10 mm tangente exterior. El delineante ha tomado la primera solución que le dio el compás para el arco de R40 y el resultado no cumple el gálibo: el arco muerde la zona de mecanizado. El cliente pregunta además si podría rebajar ese arco a R25 o incluso a R15 para dejar más material junto al ala.
1. Determina gráficamente el centro del arco de R40, indica cuántas soluciones existen y con qué criterio se elige la válida.
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Planteamiento. El arco pedido es tangente exterior a las dos circunferencias (queda por fuera de ellas), luego su centro C debe verificar:
- |C O1| = 40 + 18 = 58 mm
- |C O2| = 40 + 12 = 52 mm
Construcción. Se trazan dos arcos de circunferencia auxiliares: uno de centro O1 y radio 58 y otro de centro O2 y radio 52. Sus intersecciones son los posibles centros.
Número de soluciones. Con d = 70 mm se cumple |58 − 52| = 6 < 70 < 110 = 58 + 52, es decir, las dos circunferencias auxiliares se cortan en dos puntos: hay dos soluciones simétricas respecto de la recta O1O2.
Criterio de selección. Solo es válida la solución cuyo centro queda del lado opuesto al material, de modo que el arco resulte cóncavo visto desde la pieza. Los puntos de tangencia se obtienen sobre las rectas C O1 y C O2: T1 a 40 mm de C (18 mm de O1 hacia C) y T2 a 40 mm de C (12 mm de O2 hacia C).
Error del delineante. Tomó la solución del lado del cuerpo: el arco gira hacia el interior y corta la zona de mecanizado. No es un error de radio, sino de elección de rama; debe comprobarse siempre que el arco no invada el contorno útil ni corte a las tangentes exteriores inferiores.
2. Resuelve el acuerdo de R10 entre la recta vertical y la circunferencia de radio 18: centros posibles, puntos de tangencia y criterio de elección.
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Condiciones. El acuerdo debe ser tangente exterior a la circunferencia de radio 18 y tangente a la recta vertical:
- Respecto de la circunferencia: |C O1| = 18 + 10 = 28 mm.
- Respecto de la recta: la distancia de C a la recta es 10 mm. Como la recta está 30 mm a la izquierda de O1, C se sitúa sobre la paralela interior a 10 mm, es decir, a 20 mm a la izquierda de O1.
Centros. Con Δx = 20 mm e hipotenusa 28 mm: Δy = √(28² − 20²) = √384 ≈ 19,6 mm. Hay dos centros simétricos respecto de la horizontal que pasa por O1.
Elección. Se toma el centro que dé continuidad al contorno (el mismo lado en que se desarrolla la silueta); el otro produciría un acuerdo que cruza la placa.
Puntos de tangencia.
- Sobre la circunferencia: T1 en la recta O1C, a 18 mm de O1, del lado de C.
- Sobre la recta: T2 es el pie de la perpendicular trazada desde C a la recta vertical.
El arco se dibuja entre T1 y T2, con centro en C, y debe empalmar sin vértice con la recta y con la circunferencia. Conviene verificar que el tramo de circunferencia que se conserva no se solapa con el arco de R40.
3. El cliente propone R25 y R15 para el arco cóncavo. Decide razonadamente si son viables y calcula el radio mínimo.
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Condición general de existencia. Para un arco de radio R tangente exterior a dos circunferencias de radios r1 = 18 y r2 = 12 con centros separados d = 70, el centro debe cumplir |C O1| = R + 18 y |C O2| = R + 12. La desigualdad triangular exige:
|(R + 18) − (R + 12)| ≤ d ≤ (R + 18) + (R + 12), es decir 6 ≤ 70 ≤ 2R + 30
De ahí R ≥ (70 − 30)/2 = 20 mm.
R = 25 mm. 2R + 30 = 80 > 70 y la diferencia 6 < 70: hay dos soluciones. Es viable; el centro baja respecto de la posición de R40 (radios auxiliares 43 y 37) y el arco resulta más cerrado, pero no invade el contorno.
R = 15 mm. 2R + 30 = 60 < 70: las circunferencias auxiliares (33 y 27 mm) no se cortan, luego no existe ningún arco de R15 tangente exterior a las dos. Habría que cambiar la topología del contorno: sustituir el arco por una recta tangente más dos acuerdos, o recurrir a tangencia interior.
Caso límite. Con R = 20 exactamente los dos centros coinciden sobre la recta O1O2: configuración degenerada en la que el arco se confunde con el segmento de unión. En la práctica debe exigirse R > 20, y conviene dejar margen para el espesor de corte del láser.