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Extremadura PAU Technical Drawing II (Dibujo Técnico II - UEx 2026) study materials
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Extremadura PAU Technical Drawing II (Dibujo Técnico II - UEx 2026) practice questions

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Question 1Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una escala 1:25, ¿qué longitud de papel corresponde a un segmento real de 3,5 m?

  1. 14 mm
  2. 140 mm Correct answer.
  3. 8,75 mm
  4. 87,5 mm

Explanation

La escala 1:25 indica que una unidad en el dibujo representa 25 unidades reales, por lo que se divide la medida real entre 25. Al convertir 3,5 m en 3500 mm y dividir: 3500/25 = 140 mm. El factor de reducción se aplica siempre sobre la medida real expresada en la misma unidad.

Question 2Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Cuál es el valor del ángulo central de cada división al dividir una circunferencia en 9 partes iguales?

  1. 40° Correct answer.
  2. 30°
  3. 45°
  4. 36°

Explanation

La circunferencia completa mide 360° y se reparte en 9 sectores idénticos, de modo que cada ángulo central vale 360/9. El cociente exacto es 40°, valor que se obtiene también trazando la bisectriz sucesiva del ángulo de 120° en tres partes.

Question 3Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Al construir la bisectriz de un ángulo con regla y compás, ¿qué propiedad define a todos sus puntos?

  1. Equidistan de los dos lados del ángulo Correct answer.
  2. Equidistan de los dos extremos del arco trazado
  3. Están a igual distancia del vértice que del arco
  4. Dividen el ángulo en dos ángulos suplementarios

Explanation

La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, propiedad que justifica el trazado con dos arcos de igual radio. Esa equidistancia permite inscribir en el ángulo circunferencias tangentes a ambos lados con centro en la bisectriz.

Question 4Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué nombre recibe el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento bajo un ángulo constante?

  1. Elipse de focos los extremos
  2. Arco capaz del segmento Correct answer.
  3. Mediatriz del segmento
  4. Circunferencia inscrita al segmento

Explanation

El arco capaz es el arco de circunferencia desde cuyos puntos el segmento se observa bajo un ángulo determinado. Su construcción se apoya en el ángulo semiinscrito: se traza el ángulo dado sobre un extremo y se corta la perpendicular por el otro extremo.

Question 5Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una homotecia de centro O y razón k = −2, ¿cómo se obtiene la imagen de un punto A?

  1. Se toma 2·OA sobre la semirrecta opuesta a OA Correct answer.
  2. Se toma 2·OA sobre la semirrecta OA
  3. Se toma OA/2 sobre la semirrecta OA
  4. Se toma OA/2 sobre la semirrecta opuesta a OA

Explanation

El signo negativo de la razón sitúa la imagen en la semirrecta opuesta respecto del centro, y el valor absoluto 2 multiplica la distancia. Por tanto, A' se coloca al doble de distancia de O pero en sentido contrario. Las figuras homotécias de razón negativa resultan giradas 180° respecto del centro.

Question 6Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 3/5. Si el área del menor es 18 cm², ¿cuál es el área del mayor?

  1. 54 cm²
  2. 50 cm² Correct answer.
  3. 10,8 cm²
  4. 30 cm²

Explanation

En figuras semejantes las áreas varían con el cuadrado de la razón de semejanza. La razón de áreas es (5/3)² = 25/9, de modo que el área mayor vale 18·25/9 = 50 cm². Aplicar la razón lineal directamente a las áreas es un error frecuente.

Question 7Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué relación existe entre la media proporcional de dos segmentos a y b y la construcción de la raíz cuadrada geométrica?

  1. La media proporcional m cumple m² = a + b
  2. La media proporcional m cumple m = a·b
  3. La media proporcional m cumple m² = a·b Correct answer.
  4. La media proporcional m cumple 2m = a + b

Explanation

La media proporcional entre dos segmentos satisface a/m = m/b, de donde m² = a·b. Geométricamente se obtiene como altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos proyectados son a y b. Por eso permite construir gráficamente la raíz cuadrada de un producto.

Question 8Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Para dividir un segmento en 7 partes iguales mediante el método del haz de rectas paralelas, ¿qué paso es imprescindible?

  1. Construir el arco capaz de 7 grados sobre el segmento
  2. Marcar 7 divisiones iguales sobre una recta auxiliar y unir con paralelas Correct answer.
  3. Trazar la mediatriz del segmento y repetirla
  4. Inscribir el segmento en una circunferencia de radio igual a su longitud

Explanation

El teorema de Tales garantiza que rectas paralelas que cortan a dos transversales determinan segmentos proporcionales. Por eso se lleva sobre una semirrecta auxiliar una serie de 7 divisiones iguales y se trazan paralelas a la última alineación. Así el segmento original queda dividido en partes iguales sin necesidad de medir.

Question 9Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una escala gráfica de precisión, ¿qué representa la contraescala situada a la izquierda del cero?

  1. La unidad fraccionaria para leer medidas menores que la división principal Correct answer.
  2. La tolerancia dimensional admitida en el plano
  3. El factor de ampliación de la escala numérica
  4. El margen normalizado de la hoja

Explanation

La contraescala es la porción graduada a la izquierda del cero que se subdivide en partes más finas. Sirve para leer longitudes inferiores a la división principal de la escala gráfica. Su apreciación depende del número de subdivisiones elegidas.

Question 10Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué curva se genera al cortar un cono recto de revolución con un plano paralelo a una sola generatriz?

  1. Hipérbola
  2. Circunferencia
  3. Elipse
  4. Parábola Correct answer.

Explanation

Cuando el plano secante es paralelo a una generatriz del cono, la sección cónica resultante es una parábola, con excentricidad igual a la unidad. La elipse aparece con planos que cortan todas las generatrices y la hipérbola cuando el plano corta ambas hojas o es paralelo al eje.

Question 11Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una elipse de semieje mayor a = 25 mm y semieje menor b = 15 mm, ¿cuál es la distancia focal entre sus focos?

  1. 20 mm
  2. 80 mm
  3. 10 mm
  4. 40 mm Correct answer.

Explanation

La relación fundamental de la elipse es a² = b² + c², donde c es la semidistancia focal. Con a = 25 y b = 15 se obtiene c = √(625 − 225) = 20 mm, de modo que la distancia entre focos es 2c = 40 mm.

Question 12Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una hipérbola de semieje real a = 4 y semieje imaginario b = 3, ¿cuál es la excentricidad?

  1. 1,33
  2. 1,67
  3. 0,75
  4. 1,25 Correct answer.

Explanation

La excentricidad de la hipérbola vale e = c/a, con c = √(a² + b²). Aquí c = √(16 + 9) = 5, por lo que e = 5/4 = 1,25, valor siempre mayor que la unidad en esta cónica.

Question 13Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Para trazar la tangente a una parábola en un punto P conociendo el foco F y la directriz, ¿qué construcción es válida?

  1. Trazar la paralela al eje por P
  2. Trazar la bisectriz del ángulo formado por PF y la perpendicular a la directriz por P Correct answer.
  3. Unir P con el vértice y prolongar hasta la directriz
  4. Unir P con el foco y trazar la perpendicular a esa unión

Explanation

La tangente en un punto de la parábola es la bisectriz del ángulo que forman el radio vector PF y la perpendicular a la directriz trazada por P. Esta propiedad deriva de la definición de la parábola como equidistante del foco y de la directriz.

Question 14Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Una recta es tangente a una circunferencia de radio 20 mm y su punto de tangencia dista 30 mm de un punto exterior P. ¿Cuál es la distancia de P al centro?

  1. 36 mm Correct answer.
  2. 50 mm
  3. 10 mm
  4. 25 mm

Explanation

El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, formando un triángulo rectángulo con P y el centro. La hipotenusa vale √(20² + 30²) = √1300 ≈ 36 mm. La relación pitagórica es la base del cálculo de tangentes desde un punto exterior.

Question 15Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En el enlace de dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia de radio conocido, ¿dónde se sitúa el centro del arco?

  1. En la mediatriz del segmento que une los puntos de tangencia
  2. En la intersección de las perpendiculares a las rectas desde un mismo punto
  3. En el punto medio de la perpendicular común a las dos rectas
  4. En la paralela media a ambas rectas, a distancia igual al radio de cada una Correct answer.

Explanation

El centro debe estar a distancia igual al radio de cada una de las rectas para que el arco sea tangente a ambas. Por eso se traza la paralela media y se localiza el centro sobre la recta situada a esa distancia del radio. Los puntos de tangencia se obtienen bajando perpendiculares desde el centro a cada recta.

Question 16Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué ángulo forman entre sí las asíntotas de una hipérbola equilátera?

  1. 90° Correct answer.
  2. 45°
  3. 120°
  4. 60°

Explanation

En la hipérbola equilátera los semiejes real e imaginario son iguales, a = b, por lo que las asíntotas tienen pendiente ±1 respecto de los ejes. Eso hace que las asíntotas sean perpendiculares entre sí, formando 90°.

Question 17Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Al construir una espiral de Arquímedes, ¿qué característica define su trazado?

  1. El radio vector permanece constante en cada vuelta
  2. El radio vector crece de forma exponencial con el ángulo
  3. El radio vector crece proporcionalmente al ángulo girado Correct answer.
  4. La distancia entre espiras decrece geométricamente

Explanation

La espiral de Arquímedes cumple que el radio vector es directamente proporcional al ángulo recorrido, ρ = k·θ. Por eso las espiras quedan separadas por distancias iguales medidas sobre un mismo radio. Se construye dividiendo la circunferencia y el radio en el mismo número de partes.

Question 18Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una voluta jónica construida con arcos de circunferencia, ¿qué principio rige la sucesión de centros?

  1. Los centros giran alrededor de un único punto con radio constante
  2. Los centros se sitúan en los vértices de un cuadrado y los radios se reducen en progresión geométrica Correct answer.
  3. Los radios aumentan en progresión aritmética desde el ojo
  4. Los centros se distribuyen sobre una recta tangente al ojo

Explanation

La voluta jónica clásica se genera con centros situados en los vértices de un cuadrado, girando en torno al ojo de la voluta. Los radios de los arcos disminuyen según una progresión geométrica, lo que produce el enrollado característico.

Question 19Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué curva técnica se emplea para enlazar dos puntos con una transición suave y se construye a partir de arcos de circunferencia tangentes entre sí?

  1. Espiral logarítmica
  2. Evoluta
  3. Óvalo Correct answer.
  4. Cicloide

Explanation

El óvalo es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí, con dos ejes de simetría. Se diferencia de la elipse en que no procede de una sección cónica, sino de una construcción por enlaces de arcos.

Question 20Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En la construcción del óvalo isométrico inscrito en un cuadrado de lado L, ¿cuánto vale el radio de los arcos mayores?

  1. L·(√6 − √2)/2
  2. L/4
  3. L/2
  4. L·√3/2 Correct answer.

Explanation

En el óvalo isométrico los arcos mayores tienen centro en los vértices opuestos del cuadrado y radio igual a la diagonal menos el lado menor del triángulo, que resulta L·√3/2. Los arcos menores completan la curva con radio L·(√6 − √2)/2. Esta construcción es habitual en perspectiva isométrica.

Question 21Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Cuál es el valor del ángulo que forma la tangente a una circunferencia con el radio trazado al punto de tangencia?

  1. 60°
  2. 90° Correct answer.
  3. 45°
  4. 0°

Explanation

El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, de modo que el ángulo vale 90°. Esta propiedad es la base de todas las construcciones de tangencias y enlaces entre rectas y circunferencias.

Question 22Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Al aplicar una escala de ampliación 5:2, un segmento de 40 mm en el dibujo representa en la realidad:

  1. 80 mm
  2. 16 mm Correct answer.
  3. 20 mm
  4. 100 mm

Explanation

La escala 5:2 significa que 5 unidades del dibujo equivalen a 2 unidades reales, por lo que la medida real se obtiene multiplicando por 2/5. Así, 40·(2/5) = 16 mm. En escalas de ampliación la realidad es menor que el dibujo.

Question 23Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué condición deben cumplir dos circunferencias para que exista una tangente exterior común distinta de la recta que une sus centros?

  1. Ser exteriores o tangentes exteriores Correct answer.
  2. Ser concéntricas
  3. Tener radios iguales necesariamente
  4. Ser secantes entre sí

Explanation

Las tangentes exteriores comunes existen cuando las circunferencias no se cortan ni se contienen, es decir, son exteriores o tangentes exteriores. Se construyen trazando una circunferencia auxiliar de radio igual a la diferencia de radios y hallando tangentes desde el centro de la mayor.

Question 24Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En la construcción de la cicloide, ¿qué longitud recorre el punto generador en una vuelta completa de la circunferencia generatriz?

  1. π·r
  2. 2π·r Correct answer.
  3. 4π·r
  4. r

Explanation

La cicloide se genera al rodar una circunferencia de radio r sobre una recta sin deslizar. En una vuelta completa el punto recorre sobre la recta la longitud de la circunferencia, 2π·r, que constituye la base de la curva.

Question 25Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

¿Qué relación geométrica existe entre la evoluta y la curva original?

  1. La evoluta es la curva que rueda para generar la original
  2. La evoluta es la imagen simétrica de la curva respecto de su eje
  3. La evoluta es la envolvente de las tangentes a la curva
  4. La evoluta es el lugar de los centros de curvatura de la curva Correct answer.

Explanation

La evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura, y la curva original es la involuta de aquella. En la cicloide, por ejemplo, la evoluta es otra cicloide congruente desplazada.

Question 26Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una escala 1:250, un tramo recto mide 64 mm sobre el plano. ¿Cuál es su longitud real en metros?

  1. 16 m Correct answer.
  2. 160 m
  3. 1,6 m
  4. 0,16 m

Explanation

La escala 1:250 indica que cada milímetro del plano equivale a 250 mm reales. Multiplicando 64 mm por 250 se obtienen 16 000 mm, que divididos entre 1000 dan 16 m. Conviene expresar el resultado en la unidad pedida para evitar errores de conversión.

Question 27Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Se quiere dividir gráficamente un segmento AB en partes proporcionales a 2, 3 y 5 mediante el teorema de Tales. ¿Qué condición debe cumplir el rayo auxiliar trazado desde A?

  1. Debe coincidir con la prolongación de AB hacia B
  2. Debe formar un ángulo cualquiera distinto de 0° y 180° con AB Correct answer.
  3. Debe ser paralelo al segmento AB pero de mayor longitud
  4. Debe ser perpendicular al segmento AB en el punto A

Explanation

El método del haz de paralelas exige un rayo auxiliar que corte realmente al segmento en un punto propio, por lo que su ángulo con AB no puede ser nulo ni llano. Sobre ese rayo se llevan unidades iguales según la proporción pedida y se une el último punto con B. Las paralelas por los puntos intermedios determinan la división proporcional.

Question 28Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

En una circunferencia de radio 30 mm se traza una cuerda AB de 36 mm. ¿Cuál es la distancia del centro a la cuerda?

  1. 12 mm
  2. 24 mm Correct answer.
  3. 6 mm
  4. 18 mm

Explanation

La perpendicular desde el centro a una cuerda la divide en dos mitades iguales, de modo que se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa el radio y un cateto de 18 mm. Aplicando Pitágoras, la distancia pedida es la raíz de 900 menos 324, es decir, 24 mm. Este resultado coincide con la apotema del sector correspondiente.

Question 29Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Al construir un óvalo dados sus dos ejes perpendiculares, ¿cómo se obtienen los centros de los cuatro arcos que lo forman?

  1. Trazando las diagonales del rectángulo circunscrito al óvalo
  2. Con la mediatriz del semieje mayor y arcos con centro en los extremos del eje menor Correct answer.
  3. Con las bisectrices de los ángulos que forman los ejes en su intersección
  4. Con la circunferencia de diámetro igual al eje mayor y sus tangentes

Explanation

Se lleva sobre el eje mayor, desde un extremo, la diferencia entre el semieje mayor y el semieje menor, y se traza la mediatriz del resto. Los cortes de esa mediatriz con los ejes dan dos centros, y los simétricos completan los cuatro. Así los arcos enlazan con tangencia en los extremos de ambos ejes.

Question 30Trazado geométrico: construcciones fundamentales, ángulos, proporcionalidad, escalas y curvas técnicas

Una elipse tiene semiejes a = 50 mm y b = 30 mm. Se traza una recta paralela al eje mayor a una distancia de 18 mm por encima del centro. ¿Qué longitud tiene la cuerda que esa recta determina en la elipse?

  1. 72 mm
  2. 96 mm
  3. 80 mm Correct answer.
  4. 64 mm

Explanation

La ecuación reducida de la elipse permite despejar la coordenada x para y = 18: x² = a²(1 − y²/b²) = 2500 × (1 − 324/900) = 1600, luego x = 40 mm. La cuerda completa mide el doble, 80 mm. El resultado es coherente porque es menor que el eje mayor y mayor que el menor.

Question 31Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un triángulo rectángulo, ¿qué propiedad cumple el baricentro respecto a cada mediana?

  1. Dista lo mismo de los tres vértices del triángulo
  2. Coincide siempre con el circuncentro del triángulo
  3. Está a 2/3 del vértice y a 1/3 del punto medio del lado opuesto Correct answer.
  4. Está a 1/3 del vértice y a 2/3 del punto medio del lado opuesto

Explanation

El baricentro divide cada mediana en dos segmentos en proporción 2:1, medidos desde el vértice. Por tanto queda a dos tercios del vértice y a un tercio del punto medio del lado opuesto. Esta relación se deduce de la semejanza entre el triángulo y el que forma la mediana con los puntos medios.

Question 32Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un triángulo cualquiera, el ortocentro es el punto donde se cortan:

  1. Las bisectrices de los ángulos
  2. Las tres alturas Correct answer.
  3. Las mediatrices de los lados
  4. Las tres medianas

Explanation

El ortocentro se define como la intersección de las tres alturas, rectas trazadas desde cada vértice perpendiculares al lado opuesto. Las mediatrices dan el circuncentro, las bisectrices el incentro y las medianas el baricentro. Cada punto notable corresponde a una familia distinta de rectas notables.

Question 33Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?

  1. (n − 1)·180°
  2. n·180°
  3. (2n − 4)·90°
  4. (n − 2)·180° Correct answer.

Explanation

Al descomponer el polígono en n − 2 triángulos desde un vértice, la suma de los ángulos interiores resulta (n − 2)·180°. Para el cuadrilátero da 360° y para el pentágono 540°, valores que confirman la fórmula. La expresión (2n − 4)·90° es equivalente, pero la pregunta pide la forma estándar en función de 180°.

Question 34Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos:

  1. Suman 180° Correct answer.
  2. Son iguales entre sí
  3. Son complementarios solo si el cuadrilátero es un trapecio
  4. Suman 90°

Explanation

Un cuadrilátero es cíclico cuando sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman 180°. Esto se debe a que cada ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca y los dos arcos opuestos completan la circunferencia. La condición es necesaria y suficiente para poder inscribirlo.

Question 35Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Dado un segmento AB, el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve bajo un ángulo de 90° es:

  1. La mediatriz de AB
  2. Dos rectas que forman 45° con AB
  3. Una recta paralela a AB
  4. La circunferencia de diámetro AB Correct answer.

Explanation

El arco capaz de 90° es la circunferencia que tiene AB como diámetro, según el teorema de Tales. Todo punto de esa circunferencia forma un ángulo recto con los extremos del diámetro. Los puntos interiores ven el segmento bajo ángulos mayores y los exteriores bajo ángulos menores.

Question 36Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

¿Qué condición debe cumplir un polígono para que pueda inscribirse en una circunferencia?

  1. Que todos sus lados sean iguales
  2. Que tenga un número par de lados
  3. Que sus mediatrices concurrentes existan, lo que ocurre en todo polígono regular Correct answer.
  4. Que sus diagonales sean perpendiculares

Explanation

Un polígono es inscribible cuando las mediatrices de sus lados concurren en un punto, el circuncentro. En todo polígono regular esto se cumple por simetría, de modo que siempre admite circunferencia circunscrita. La igualdad de lados por sí sola no garantiza la concurrencia en polígonos irregulares.

Question 37Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

La recta de Euler de un triángulo contiene:

  1. Incentro, baricentro y ortocentro
  2. Circuncentro, baricentro y ortocentro Correct answer.
  3. Solo el circuncentro y el incentro
  4. Los tres puntos medios de los lados

Explanation

La recta de Euler pasa por el circuncentro, el baricentro y el ortocentro, alineados en ese orden en triángulos no equiláteros. Además se cumple que la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la que hay al circuncentro. El incentro no pertenece a esta recta salvo casos particulares.

Question 38Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un triángulo isósceles, la altura trazada sobre la base:

  1. Coincide con la recta de Euler completa
  2. Es siempre igual a la base
  3. Solo es mediana, pero nunca bisectriz
  4. Es también mediana, mediatriz y bisectriz del ángulo opuesto Correct answer.

Explanation

En el triángulo isósceles el eje de simetría pasa por el vértice opuesto a la base y por su punto medio. Por ello la altura sobre la base actúa a la vez como mediana, mediatriz y bisectriz. Esta coincidencia simplifica muchas construcciones de simetría.

Question 39Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Se quiere construir un triángulo conociendo el lado a, el ángulo B y el lado c. ¿Qué construcción resulta directa?

  1. Trazar la circunferencia circunscrita y elegir tres puntos
  2. Trazar el lado a, situar el ángulo B en un extremo y cortar con el lado c desde el otro extremo Correct answer.
  3. Hallar primero el ortocentro y unir con los vértices
  4. Construir el arco capaz de 90° sobre el lado a

Explanation

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido, se transporta el ángulo B sobre el vértice correspondiente y se mide el lado c sobre el otro lado del ángulo. El tercer vértice queda determinado por la intersección, sin ambigüedad. Es el caso de congruencia lado-ángulo-lado.

Question 40Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Para construir un triángulo conociendo los tres lados, la condición necesaria y suficiente es que:

  1. Cada lado sea mayor que la suma de los otros dos
  2. Los tres lados sean iguales
  3. El lado mayor sea igual a la suma de los otros dos
  4. Cada lado sea menor que la suma de los otros dos Correct answer.

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea estrictamente menor que la suma de los otros dos. Si un lado iguala la suma, los puntos quedan alineados y el triángulo degenera. Con la desigualdad satisfecha, los arcos trazados desde los extremos se cortan en un punto válido.

Question 41Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Dado un segmento AB, se desea el arco capaz de 60°. ¿Qué ángulo central hay que construir en el centro del arco?

  1. 30°
  2. 120° Correct answer.
  3. 60°
  4. 240°

Explanation

El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Para un arco capaz de 60° el ángulo central correspondiente es 120°. Se traza el ángulo de 120° en el centro y se dibuja el arco que pasa por A y B.

Question 42Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un cuadrilátero, el segmento que une los puntos medios de las diagonales se relaciona con la suma de los vectores de los lados mediante:

  1. El teorema de Varignon, que forma un paralelogramo con los puntos medios de los lados Correct answer.
  2. El teorema de Pitágoras aplicado a las diagonales
  3. La ley de los senos en cada triángulo
  4. La homotecia de razón 1/2 respecto al baricentro

Explanation

El teorema de Varignon afirma que los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Su área es la mitad de la del cuadrilátero original y sus lados son paralelos a las diagonales. Es una construcción habitual en problemas de cuadriláteros.

Question 43Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Se quiere inscribir un cuadrado en una circunferencia de radio R. ¿Cuánto mide su lado?

  1. R·√2 Correct answer.
  2. R/√2
  3. R·√3
  4. 2R

Explanation

La diagonal del cuadrado inscrito coincide con el diámetro, 2R. Como la diagonal es lado·√2, se obtiene lado = 2R/√2 = R·√2. Este valor aparece también al aplicar trigonometría con el ángulo central de 90°.

Question 44Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, la apotema mide:

  1. R
  2. R·√2/2
  3. R/2
  4. R·√3/2 Correct answer.

Explanation

El hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros de lado R. La apotema es la altura de uno de esos triángulos, R·√3/2. También se obtiene como R·cos(30°), ya que el semiángulo central es 30°.

Question 45Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Para trazar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior P, el procedimiento correcto es:

  1. Trazar la mediatriz de PO y unir P con el centro
  2. Dibujar la circunferencia de centro P y radio PO
  3. Trazar la perpendicular a PO por el centro O
  4. Unir P con el centro O, trazar la circunferencia de diámetro PO y unir P con sus intersecciones Correct answer.

Explanation

Los puntos de tangencia son aquellos desde los que el segmento OP se ve bajo 90°, es decir, el arco capaz de 90° sobre OP. Por eso se construye la circunferencia de diámetro PO y sus cortes con la dada son los puntos de tangencia. Uniendo P con ellos se obtienen las dos tangentes.

Question 46Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un triángulo, el incentro se obtiene como intersección de las bisectrices y es:

  1. El punto medio de la hipotenusa en todo triángulo rectángulo
  2. El centro de la circunferencia inscrita, equidistante de los tres lados Correct answer.
  3. El punto de corte de las tres alturas
  4. El centro de la circunferencia circunscrita

Explanation

El incentro equidista de los tres lados, pues cada punto de una bisectriz está a igual distancia de los lados del ángulo. Por eso es el centro de la circunferencia inscrita o incentro. Su distancia a cada lado es el inradio.

Question 47Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Se desea construir un rombo conocidas sus dos diagonales. ¿Qué relación geométrica se aprovecha?

  1. Las diagonales del rombo son perpendiculares pero no se bisecan
  2. Las diagonales del rombo forman siempre 60°
  3. Las diagonales del rombo son iguales y paralelas
  4. Las diagonales del rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio Correct answer.

Explanation

En todo rombo las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio, ya que el rombo es un paralelogramo con lados iguales. Basta dibujar una diagonal, su mediatriz y llevar sobre ella la mitad de la otra. Uniendo los extremos se obtiene el rombo.

Question 48Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En una circunferencia, dos cuerdas paralelas determinan arcos comprendidos entre ellas que:

  1. Son suplementarios
  2. Suman una semicircunferencia
  3. Están en proporción 2:1
  4. Son iguales Correct answer.

Explanation

Las cuerdas paralelas generan una figura simétrica respecto al diámetro perpendicular a ambas. Esa simetría hace que los arcos comprendidos entre las cuerdas sean iguales. La propiedad se usa para resolver problemas de ángulos inscritos con cuerdas paralelas.

Question 49Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

Un triángulo tiene lados a = 7, b = 8 y c = 15. ¿Qué se concluye al construir el triángulo?

  1. Es degenerado porque 7 + 8 = 15 Correct answer.
  2. Es imposible solo si el ángulo mayor supera 90°
  3. Es un triángulo equilátero
  4. Es un triángulo rectángulo válido

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea estrictamente menor que la suma de los otros dos. Aquí 7 + 8 = 15, de modo que los tres puntos quedan alineados y el triángulo degenera en un segmento. No existe triángulo con esas medidas.

Question 50Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias

En un triángulo rectángulo, el circuncentro se localiza:

  1. En el interior del triángulo, siempre
  2. En el pie de la altura sobre la hipotenusa
  3. En el vértice del ángulo recto
  4. En el punto medio de la hipotenusa Correct answer.

Explanation

En el triángulo rectángulo la hipotenusa es diámetro de la circunferencia circunscrita, según el teorema de Tales. Por eso el circuncentro, centro de esa circunferencia, es el punto medio de la hipotenusa. En triángulos obtusángulos, en cambio, el circuncentro queda fuera del triángulo.