Comprobar la distancia de una fresa a un plano inclinado antes de mecanizar
En el módulo de fabricación se necesita mecanizar un chaflán sobre una placa. El plano α viene definido por sus trazas: la traza horizontal α1 pasa por el punto de la línea de tierra de referencia 0 y forma 45° con la LT, abriéndose hacia alejamientos positivos; la traza vertical α2 arranca del mismo punto y asciende de modo que pasa por el punto de referencia 40 mm y cota 80 mm. Se dispone además del punto P, de coordenadas (referencia 50, alejamiento 30, cota 10), que marca la posición de la punta de la fresa. El operario encargado del plano afirma que la fresa está a 15 mm del plano y que el pie de la perpendicular está a cota 10. El jefe de taller desconfía y pide una comprobación por el método gráfico del sistema diédrico y, además, conocer el ángulo que forma el chaflán con la base horizontal para elegir la inclinación del cabezal de la máquina.
1. Explica cómo se traza la perpendicular desde P al plano α y cómo se localiza el pie, indicando el método más eficaz y el resultado de la distancia.
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Trazado de la perpendicular. Como α no es proyectante, se aplica la regla de perpendicularidad recta-plano: la proyección horizontal de la recta es perpendicular a α1 y la vertical es perpendicular a α2. Por P1' se traza r1' ⊥ α1 y por P2' se traza r2' ⊥ α2. Conviene advertir que pinchar en P y cortar directamente α1 o α2 solo da las trazas de r, nunca el pie.
Localización del pie. El método más eficaz es un cambio de plano vertical: se elige un nuevo plano vertical perpendicular a α1 (paralelo a la línea de máxima pendiente). En esa nueva proyección α aparece de canto (como una recta) y la perpendicular se ve en verdadera magnitud; su intersección con la recta de canto es el pie I, que se refiere después a las proyecciones originales.
Alternativas descartadas. Contener la perpendicular en un plano proyectante y hallar su intersección con α exige una recta auxiliar y un punto de corte adicional: es más largo y multiplica los errores de trazado.
Resultado. El pie es I ≈ (43,3; 36,7; 13,3) y la distancia en verdadera magnitud es 10 mm. Nótese que la cota del pie (13,3) es mayor que la de P (10): la perpendicular sube, porque α queda por encima del punto en esa vertical.
2. Contrasta con cálculos las dos afirmaciones del operario: distancia de 15 mm y pie a cota 10.
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Ecuación del plano. α contiene el origen y las direcciones u = (1, 1, 0) -α1 a 45°- y v = (1, 0, 2) -α2, que sube 80 mm en 40 mm de referencia-. El vector normal es n = u × v = (2, −2, −1), luego α: 2x − 2y − z = 0, con |n| = 3.
Distancia. d = |2·50 − 2·30 − 10| / 3 = 30/3 = 10 mm. La afirmación de 15 mm es falsa; probablemente se midió sobre una proyección: la proyección vertical de la perpendicular mide √(6,67² + 3,33²) ≈ 7,45 mm, que tampoco es la distancia real.
Pie de la perpendicular. I = P − (30/9)·(2, −2, −1) = (43,33; 36,67; 13,33). La cota del pie no es 10, sino 13,33 mm: esa cota solo coincidiría si P estuviera en un plano horizontal que cortase a α justo en el pie, cosa que no ocurre.
Conclusión para el taller. La fresa está 5 mm más cerca de lo que dice el operario (10 frente a 15) y el apoyo de la perpendicular está 3,33 mm más alto. Ambos errores apuntan a una comprobación hecha sobre la proyección y no en verdadera magnitud, por lo que el chaflán se habría mecanizado fuera de tolerancia.
3. Determina el ángulo diedro que forma α con el plano horizontal y describe cómo se obtiene gráficamente.
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Cálculo. El ángulo entre α y el PH es el que forma α con su traza horizontal, medido en un plano perpendicular a α1. Con la normal n = (2, −2, −1):
cos θ = |n · k| / |n| = 1 / 3 → θ = 70,53°
Comprobación por pendiente. La línea de máxima pendiente de α tiene pendiente 2√2 ≈ 2,828 (al avanzar (1, −1) en horizontal, la cota sube 4), y arctan 2,828 = 70,53°. Coherente.
Construcción gráfica.
- Se toma un punto A de α1 y se traza en el PH la perpendicular a α1 por A.
- Por A se traza la línea de máxima pendiente de α (contenida en el plano perpendicular a α1).
- Se abate α sobre el PH girando alrededor de α1: el ángulo entre la línea de máxima pendiente abatida y su proyección horizontal es θ.
- Alternativa equivalente: triángulo rectángulo formado por la proyección horizontal de la línea de máxima pendiente, la diferencia de cotas entre sus extremos y la propia línea como hipotenusa; el ángulo en el extremo inferior es θ.
Uso en máquina. El cabezal debe inclinarse 70,53° respecto de la horizontal, o bien 19,47° respecto de la vertical del husillo. Redondear a 70° introduciría un error de 0,53° que, en 100 mm de longitud de chaflán, desplaza el borde casi 1 mm.