Sección de un cono por un plano de canto: decidir el tipo de cónica
Una empresa de Cáceres fabrica una tolva de chapa en forma de cono de revolución apoyado por su base en el plano horizontal: radio de base 30 mm y altura 80 mm, medidas sobre el modelo de dibujo (a escala 1:5, luego 150 mm y 400 mm reales). Para el montaje del sistema de llenado hay que practicar un corte plano definido por un plano perpendicular al plano vertical de proyección, que forma 40° con el plano horizontal y contiene el punto del eje del cono situado a cota 40 mm. El jefe de proyecto duda entre «elipse» y «parábola» y pide que se determine el tipo de curva, si la sección es cerrada o abierta y la verdadera magnitud de la sección. Además, valora inclinar el plano a 75° para ganar altura de boca. La tolva se dibuja en sistema diédrico, con el plano de corte de canto en la proyección vertical y el eje del cono a referencia 50 mm.
1. Determina el tipo de cónica y decide si la sección es cerrada o abierta, justificándolo con los datos.
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Parámetro del cono. El ángulo que forma la generatriz con el plano de la base es β = arctan(80/30) = 69,44°.
Comparación con el plano. El plano de corte forma α = 40° con el PH. Regla: α < β → elipse; α = β → parábola; α > β → hipérbola. Como 40° < 69,44°, la sección es una elipse.
¿Cerrada o abierta? Una elipse es cerrada solo si el plano no llega a cortar la base del cono. La traza del plano de corte sobre el PH es una recta (paralela a la dirección de alejamientos, por ser plano de canto) situada a 40/tan 40° = 47,7 mm del eje. Como 47,7 mm > R = 30 mm, esa recta no corta el círculo de la base: el plano atraviesa únicamente la superficie lateral y la sección es una elipse completa, sin cuerda de base.
Matiz importante. No es una circunferencia porque el plano no es paralelo a la base. El semieje menor no coincide con el radio de ninguna sección horizontal del cono, ya que el centro de la elipse no está sobre el eje del cono sino desplazado hacia el lado de menor cota.
2. Propón el método de construcción de la sección y de su verdadera magnitud, y da los valores aproximados de los ejes.
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Proyecciones. Al ser el plano de canto, la proyección vertical de la sección es un segmento sobre la traza del plano, limitado por las dos generatrices extremas del plano de simetría. La proyección horizontal es una elipse (planta).
Método recomendado: homología en la planta. El círculo de la base y la planta de la sección son figuras homólogas con centro en la planta del vértice del cono (punto del eje) y eje en la traza horizontal del plano de corte. Cada generatriz es una recta que pasa por el vértice: corta al círculo base en un punto y a la sección en su homólogo. Con 8-12 generatrices se obtiene la elipse con precisión suficiente; los puntos de tangencia de las generatrices extremas dan los extremos del eje mayor.
Alternativa: planos horizontales auxiliares. Cada plano z = k corta el cono en una circunferencia de radio r(k) = 30·(1 − k/80) y el plano de corte en una recta horizontal; sus intersecciones dan pares de puntos de la sección. Es más lento pero muy seguro para puntos sueltos.
Verdadera magnitud. Abatiendo el plano de corte sobre el PV (es perpendicular a él, así que basta girar 90°: la distancia de cada punto a la traza vertical, medida perpendicularmente, es igual a su alejamiento).
Resultados. Eje mayor ≈ 43,5 mm (extremos sobre las dos generatrices del plano de simetría, a cotas 49,6 y 21,6 mm); eje menor ≈ 31,6 mm, obtenido como cuerda horizontal por el centro de la elipse (situado a cota 35,6 mm, donde el radio del cono es 16,6 mm y su distancia al eje 5,2 mm).
3. Evalúa la variante de 75°: ¿qué cambia en el tipo de sección y en su extensión?
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Tipo de cónica. Con α = 75° y β = 69,44° se cumple α > β: la sección pasa a ser una hipérbola (rama única, pues el plano corta una sola hoja del cono).
Extensión. La traza del plano sobre el PH queda a 40/tan 75° = 10,7 mm del eje. Como 10,7 mm < 30 mm, ahora sí corta el círculo de la base, de modo que la sección es abierta: una rama de hipérbola que termina en una cuerda del círculo base. Los extremos de la curva son los puntos de intersección del plano con la circunferencia de la base, y la cuerda se proyecta en planta como una recta paralela a la traza.
Consecuencias prácticas.
- La boca de la tolva deja de ser una elipse cerrada y aparece un borde recto sobre la base, lo que cambia el desarrollo de chapa y las plantillas.
- El vértice de la hipérbola (punto de mínima cota) está sobre la generatriz más próxima al plano; con 75° queda muy cerca de la base, por lo que la pieza pierde altura útil justo donde se quería ganar boca.
- El método de construcción es el mismo (homología o planos auxiliares), pero ahora la curva no se cierra: hay que añadir la cuerda y comprobar que la rama no se sale del contorno de la chapa.
Recomendación. Si el objetivo es aumentar la boca sin perder estanqueidad, conviene mantener el plano por debajo de 69,44° o desplazar el punto de paso en el eje, en lugar de empinar el corte.