Geometría plana: triángulos, cuadriláteros, polígonos y construcciones con circunferencias
La geometría plana de la PAU extremeña exige construir triángulos y cuadriláteros a partir de datos parciales, dibujar polígonos regulares dado el lado o dado el radio, y resolver construcciones con circunferencias como el arco capaz o el eje radical. Los enunciados suelen combinar varios conceptos en un mismo ejercicio.
Triángulos
- Casos básicos: tres lados; dos lados y el ángulo comprendido; un lado y dos ángulos; un lado, su altura y un ángulo.
- Puntos notables: circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas, que divide cada mediana en proporción 2:1).
- La recta de Euler contiene ortocentro, baricentro y circuncentro; en el triángulo equilátero coinciden los cuatro puntos.
Cuadriláteros
La suma de ángulos es 360°. En los paralelogramos las diagonales se bisecan; en el rombo son perpendiculares y coinciden con las mediatrices. Un trapecio se determina con bases, altura y un lado. Un cuadrilátero es inscriptible si sus ángulos opuestos son suplementarios, dato que permite resolverlo con arco capaz.
Polígonos regulares
- Dado el radio: se divide la circunferencia en n partes; hexágono con lado igual al radio, cuadrado con diámetros perpendiculares.
- Dado el lado: pentágono a partir de la relación diagonal = 1,618 × lado y ángulo central de 72°; hexágono trazando la circunferencia de radio el lado; heptágono y siguientes por el método general aproximado (mediatriz del lado y semicircunferencia dividida en n partes).
Construcciones con circunferencias
La circunferencia que pasa por tres puntos tiene por centro el circuncentro. El arco capaz es el lugar de los puntos desde los que un segmento se ve bajo un ángulo dado. El eje radical es el lugar de puntos con igual potencia respecto a dos circunferencias y es perpendicular a la línea de centros; el centro radical permite trazar tangentes comunes.
Ejemplo resuelto
Arco capaz de 60° sobre AB = 5 cm: por A se traza una recta que forme 60° con AB; se levanta la perpendicular a esa recta en A; su intersección con la mediatriz de AB es el centro O. El radio vale AB/(2·sen 60°) = 5/1,732 = 2,89 cm y el ángulo central es 120°, doble del inscrito. Existen dos arcos capaces, uno a cada lado de AB.
Errores que cuestan puntos
- Construir el polígono dado el lado como si estuviera inscrito en una circunferencia, o al contrario.
- Olvidar la segunda solución del pentágono y del hexágono.
- Confundir incentro con circuncentro al resolver un triángulo.
- Elegir el arco capaz del lado equivocado del segmento.