Transformaciones geométricas: homología, homotecia, giro, traslación e inversión
Las transformaciones geométricas aparecen en la PAU como un ejercicio de homología o de inversión y, con menor frecuencia, de giro, traslación u homotecia. El enunciado habitual proporciona el centro, el eje y un par de puntos homólogos, y pide la figura homóloga de un polígono o de una circunferencia.
Homología
- Elementos: centro O, eje e y un par A–A'. Todo par de puntos homólogos está alineado con O.
- Las rectas homólogas se cortan en el eje, y los puntos del eje son dobles.
- Las rectas paralelas al eje tienen homólogas paralelas al eje.
- La recta límite RL es el lugar de los puntos cuyos homólogos están en el infinito; su homóloga RL' es paralela al eje y la distancia de O a RL coincide con la distancia del eje a RL'.
- La homotecia es una homología con el eje en el infinito; con el centro en el infinito se obtiene una afinidad.
Homotecia
Se cumple OA' = k·OA. Con k positivo la homotecia es directa y con k negativo inversa (k = –1 equivale a una simetría central). Las figuras homotéticas tienen lados paralelos. Los centros de homotecia de dos circunferencias, exterior e interior, se hallan en la línea de centros a partir de las tangentes comunes.
Giro, traslación e inversión
- En el giro, el centro pertenece a la mediatriz del segmento AA'.
- La inversión cumple OA·OA' = K y los puntos dobles son los de la circunferencia de autoinversión, de radio √K. Es involutiva: la inversa de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O, y la inversa de una circunferencia que pasa por O es una recta perpendicular a la recta OC.
Ejemplo resuelto
Conocidos O, el eje y el par A–A', para hallar B' se une A con B; esa recta corta al eje en P, punto doble. Se une P con A' y se prolonga, y la intersección con la recta OB da B'. Para la circunferencia homóloga se determinan los homólogos de los extremos del diámetro situado en la línea de centros.
Errores que cuestan puntos
- Trazar rectas homólogas sin que se corten en el eje.
- Confundir la potencia K de la inversión con el radio: K = r².
- Colocar el punto homólogo en la semirrecta contraria cuando la razón es negativa.
- Olvidar que en la inversión de potencia positiva A y A' están siempre en la misma semirrecta.