Superficies y sólidos: poliedros, superficies radiadas y de revolución, secciones planas e intersecciones
Este bloque evalúa la representación de poliedros y de superficies radiadas y de revolución, y sobre todo la obtención de secciones planas e intersecciones con rectas. Es habitual que el ejercicio pida la sección de un cono o de un prisma por un plano proyectante y su verdadera magnitud.
Poliedros
- Cinco regulares: tetraedro (4 triángulos), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos).
- Relación de Euler: caras + vértices = aristas + 2.
- En diédrico se representan con aristas vistas en línea continua y ocultas en discontinua; en axonométrico, aplicando el coeficiente de reducción.
Superficies radiadas y de revolución
Las radiadas tienen generatriz recta que pasa por un vértice (cono, pirámide) o se mantiene paralela a una dirección (cilindro, prisma). Las de revolución se generan al girar una curva alrededor de un eje: cilindro, cono, esfera y toro. En diédrico deben determinarse el contorno aparente y las generatrices de contorno, y en la esfera basta el centro y el radio.
Secciones planas
- En poliedros, la sección es un polígono cuyos vértices son las intersecciones del plano con las aristas.
- En el cono, con β como ángulo entre el plano y el eje y α como semiángulo del cono: β = 90° da circunferencia, β > α elipse, β = α parábola (plano paralelo a una generatriz) y β < α hipérbola; si el plano pasa por el vértice la sección degenera en triángulo o en un punto.
- En el cilindro, un plano oblicuo produce una elipse, uno paralelo al eje un rectángulo y uno perpendicular a él una circunferencia.
- En la esfera, toda sección plana es una circunferencia cuyo centro es el pie de la perpendicular desde el centro al plano.
Intersección recta-sólido
Se hace pasar por la recta un plano proyectante, se obtiene la sección y se corta con la recta; los puntos hallados son la entrada y la salida, y hay que estudiar su visibilidad.
Ejemplo resuelto
Un cono recto de semiángulo 30° se corta por un plano que forma 60° con el eje y no pasa por el vértice. Como 60° > 30°, la sección es una elipse; su eje mayor se mide abatiendo el plano y el menor es perpendicular a él. Si el plano fuera paralelo a una generatriz (β = 30°), la cónica sería una parábola.
Errores que cuestan puntos
- Confundir el semiángulo del cono con el ángulo del vértice.
- Dibujar como sección un polígono con vértices que no están sobre las aristas.
- Descuidar la visibilidad y las partes ocultas de la sección.
- Suponer que la sección de una esfera puede ser elíptica.