Salle de concert : additionner les décibels ?
Dans une salle de concert, deux sources sonores indépendantes fonctionnent simultanément. Leurs intensités acoustiques valent I_A = 1,0 × 10^{-4} W·m^{-2} et I_B = 1,0 × 10^{-5} W·m^{-2}. Le niveau sonore d'une source d'intensité I est L = 10 log(I/I_0), avec I_0 = 1,0 × 10^{-12} W·m^{-2}; L s'exprime en décibels (dB). Pour des sources supposées incohérentes, les intensités s'ajoutent, mais pas les niveaux en décibels. Un régisseur affirme pourtant que le niveau total vaut 80 + 70 = 150 dB, car « les décibels s'additionnent ». Il veut aussi savoir combien de sources identiques à A il faudrait aligner pour dépasser 85 dB, et il se demande si le seuil de douleur de 120 dB pourrait être atteint en multipliant les sources A. Le matériel disponible limite à 20 sources A au maximum.
1. Calculer les niveaux sonores L_A et L_B, puis corriger l'affirmation du régisseur en calculant le niveau total.
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L_A = 10 log(10^{-4}/10^{-12}) = 10 log(10^8) = 80 dB.
L_B = 10 log(10^{-5}/10^{-12}) = 10 log(10^7) = 70 dB.
Pour des sources incohérentes, on additionne les intensités : I_total = 1,0 × 10^{-4} + 1,0 × 10^{-5} = 1,1 × 10^{-4} W·m^{-2}.
L_total = 10 log(1,1 × 10^{-4}/10^{-12}) = 10 log(1,1 × 10^8) = 80 + 10 log(1,1) ≈ 80,41 dB.
Le régisseur additionne des décibels, ce qui revient à écrire log(a+b) = log a + log b : c'est faux. Le niveau total est à peine supérieur à 80 dB, pas 150 dB.
2. Déterminer le nombre minimal n de sources identiques à A, avec n ≤ 20, pour dépasser 85 dB.
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Pour n sources A, l'intensité totale vaut n × 10^{-4}, donc L_n = 10 log(n × 10^8) = 80 + 10 log n.
On veut 80 + 10 log n > 85, soit 10 log n > 5, puis log n > 0,5, donc n > 10^{0,5} ≈ 3,16.
Le plus petit entier n est donc 4. Vérification : L_3 = 80 + 10 log 3 ≈ 84,77 dB < 85 dB ; L_4 = 80 + 10 log 4 ≈ 86,02 dB > 85 dB. Quatre sources A suffisent.
3. Avec au maximum 20 sources A, peut-on atteindre le seuil de douleur de 120 dB ? Justifier.
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Avec n = 20, L_20 = 80 + 10 log 20 ≈ 80 + 13,01 = 93,01 dB. C'est très loin de 120 dB.
Pour atteindre 120 dB, il faudrait 80 + 10 log n = 120, soit 10 log n = 40, donc log n = 4 et n = 10^4 = 10 000 sources A. Le matériel limité à 20 sources ne permet donc pas d'atteindre ce seuil ; multiplier les sources reste très inefficace en décibels à cause de la croissance logarithmique.