Bac Maths Spécialité flashcards

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Suite croissante et majorée

Une suite croissante et majorée converge vers une limite finie, qui est le plus petit des majorants. Ce théorème de convergence monotone ne donne pas la valeur de la limite, seulement son existence.

Suite récurrente et point fixe

Si u_{n+1} = f(u_n), si f est continue et si (u_n) converge vers ℓ, alors ℓ = f(ℓ). Les limites possibles sont donc les points fixes de f, à vérifier ensuite par convergence.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur [a, b] et si k est compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = k. La stricte monotonie de f garantit l'unicité de ce c.

Dérivée et sens de variation

Sur un intervalle, si f' ≥ 0 alors f est croissante ; si f' ≤ 0 alors f est décroissante. Un changement de signe de f' en x_0, avec f'(x_0) = 0, donne un extremum local.

Croissance comparée

En +∞, e^x l'emporte sur toute puissance x^n et x^n l'emporte sur ln x. Ainsi e^x/x^n → +∞ et (ln x)/x^n → 0, ce qui lève les indéterminations ∞/∞ correspondantes.

Dérivée de ln et exp

La dérivée de e^x est e^x et celle de ln x est 1/x sur ]0, +∞[. Pour une composée, (e^u)' = u' e^u et (ln u)' = u'/u, valable lorsque u > 0.

Théorème fondamental de l'intégration

Si f est continue sur [a, b] et F une primitive de f, alors ∫_a^b f(t) dt = F(b) − F(a). L'intégrale ne dépend donc que des valeurs de la primitive aux bornes.

Intégration par parties

Formule ∫_a^b u'(t)v(t) dt = [u(t)v(t)]_a^b − ∫_a^b u(t)v'(t) dt. Elle s'emploie pour x e^x, x ln x ou ln x, en choisissant u' facile à primitiver.

Solutions de y' = ay

Les solutions sur ℝ de y' = ay sont les fonctions y(x) = C e^{ax}, où C est une constante réelle. Une condition initiale y(x_0) = y_0 détermine C = y_0 e^{−a x_0}.

Solutions de y'' + ω²y = 0

Les solutions sont y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx) avec A et B réels. Les conditions initiales y(0) et y'(0) fixent A = y(0) et B = y'(0)/ω de façon unique.

Nombre de combinaisons

C_n^k = n!/(k!(n−k)!) compte les sous-ensembles de k éléments choisis parmi n, sans ordre et sans remise. On a C_n^k = C_n^{n−k} et C_n^k = C_{n−1}^{k−1} + C_{n−1}^k.

Formule du binôme de Newton

Pour tous réels a et b et tout entier n ≥ 1, (a + b)^n = Σ_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n−k}. En posant a = b = 1, on retrouve que la somme des coefficients binomiaux vaut 2^n.

Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a, b, c) a pour points les M de coordonnées x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, où t parcourt ℝ.

Vecteur normal à un plan

Un vecteur n non nul est normal au plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Si P passe par A, alors M ∈ P équivaut à n·AM = 0.

Distance d'un point à un plan

Pour M(x_0, y_0, z_0) et le plan d'équation ax + by + cz + d = 0, la distance vaut |ax_0 + by_0 + cz_0 + d| / √(a² + b² + c²). Elle est atteinte au projeté orthogonal de M.

Condition d'orthogonalité dans l'espace

Deux vecteurs u(x, y, z) et v(x', y', z') sont orthogonaux si et seulement si u·v = xx' + yy' + zz' = 0. On en déduit l'orthogonalité de droites ou de plans via leurs vecteurs directeurs ou normaux.

Formule des probabilités totales

Si les événements B_1, …, B_n forment une partition de l'univers, alors P(A) = Σ P(B_i) × P(A|B_i). Cette formule se lit directement sur un arbre pondéré en sommant les chemins menant à A.

Espérance et variance d'une variable

Pour une variable discrète X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i : E(X) = Σ x_i p_i et V(X) = Σ x_i² p_i − E(X)². L'écart type est σ(X) = √V(X).

Loi binomiale et ses paramètres

Si X suit B(n, p), alors P(X = k) = C_n^k p^k (1−p)^{n−k} pour k de 0 à n, avec E(X) = np et V(X) = np(1−p). Elle modélise le nombre de succès sur n épreuves indépendantes.

Intervalle de fluctuation asymptotique

Au seuil de 95 %, il vaut [p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n)]. Si la fréquence observée sort de cet intervalle, on rejette l'hypothèse p au seuil de 5 %.

Boucle while en Python

while condition : répète le bloc tant que la condition est vraie. Elle sert à calculer un rang de seuil ou une convergence, mais impose de modifier la variable testée pour éviter une boucle infinie.

Algorithme de dichotomie

Sur [a, b] avec f(a)f(b) < 0, on calcule m = (a + b)/2 puis on remplace a par m ou b par m selon le signe de f(m). On répète jusqu'à obtenir b − a inférieur à la précision voulue.

Raisonnement par contraposée

L'implication « P ⇒ Q » est équivalente à « non Q ⇒ non P ». On démontre la seconde, souvent plus simple, pour établir la première. Exemple : si n² est pair alors n est pair.

Raisonnement par récurrence

Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n_0 : on vérifie P(n_0), puis on suppose P(n) vraie et on démontre P(n+1). La conclusion exige les deux étapes, initialisation et hérédité.

Limite de q^n

Si |q| < 1, alors q^n tend vers 0 ; si q = 1, la suite est constante égale à 1 ; si q > 1, q^n tend vers +∞. Le signe de q n'influence pas la limite en valeur absolue.

Asymptote horizontale et verticale

Si lim_{x→+∞} f(x) = ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe. Si lim_{x→a} f(x) = ±∞, la droite x = a est asymptote verticale.

Équation e^x = k

Pour k > 0, l'équation e^x = k a pour unique solution x = ln k, car ln est la réciproque de exp. Pour k ≤ 0, elle n'a aucune solution puisque e^x est toujours strictement positif.

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de f sur [a, b] est (1/(b−a))∫_a^b f(t) dt. Si f est continue, il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) soit égal à cette valeur moyenne.

Équation y' = ay + b

Pour a ≠ 0, la solution particulière constante est y_p = −b/a. Les solutions générales s'écrivent y(x) = C e^{ax} − b/a, où C est déterminé par une condition initiale.

Arrangements de k parmi n

A_n^k = n!/(n−k)! = n(n−1)…(n−k+1) compte les k-uplets d'éléments distincts choisis parmi n, l'ordre étant pris en compte. C'est n × (n−1) × … × (n−k+1).

Plan et équation cartésienne

Tout plan de l'espace admet une équation ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0). Le vecteur n(a, b, c) est normal au plan et caractérise son orientation.

Indépendance de deux événements

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Si P(B) > 0, cela équivaut à P(A|B) = P(A) : la réalisation de B ne modifie pas la probabilité de A.