Bac Maths Spécialité common mistakes
Bac Maths Spécialité · Understand the traps and how to avoid them.
Devant une suite définie par u_{n+1} = f(u_n), le candidat calcule u_1, u_2, u_3, conjecture une formule explicite, puis la traite comme démontrée et l'utilise pour la limite, au lieu de poser une récurrence.
L'énoncé demande souvent « conjecturer » puis « démontrer » ; la conjecture est confondue avec la preuve, et l'habitude du calcul numérique rassurant donne l'illusion d'avoir établi le résultat. Le candidat ne distingue pas ce qui est vérifié sur trois termes de ce qui est vrai pour tout n.
What to do instead
Écrire explicitement l'initialisation (u_0 vérifie la propriété) et l'hérédité (« supposons P(n) vraie, montrons P(n+1) ») en citant le lien u_{n+1} = f(u_n). Pour la limite, justifier la convergence avant de passer à la limite dans l'égalité ℓ = f(ℓ), et résoudre cette équation en vérifiant que ℓ appartient à l'intervalle stable utilisé. Relire la copie en se demandant, pour chaque affirmation sur u_n : « est-ce prouvé ou seulement observé ? »
Le candidat calcule une limite de quotient en remplaçant brutalement les termes par leurs équivalents additifs (par exemple écrire que (e^x − 1 + x)/x tend vers 1 + 1 = 2 en gardant x/x), ou additionne deux limites dont l'une est infinie et l'autre infinie de signe opposé sans lever l'indétermination.
Les théorèmes d'opérations sur les limites sont mémorisés comme des règles de calcul ordinaires, sans le tableau des formes indéterminées ; l'élève applique « limite de la somme = somme des limites » même quand elle n'existe pas. Le passage aux équivalents est aussi utilisé à tort dans une somme.
What to do instead
Avant tout calcul, identifier la forme (∞−∞, 0/0, ∞/∞, 0×∞) et annoncer la méthode de levée : factorisation par le terme dominant, quantité conjuguée, taux d'accroissement, ou théorème des gendarmes. Écrire les équivalents uniquement dans un produit ou un quotient, jamais dans une somme. Terminer chaque calcul par la citation du théorème utilisé (comparaison, croissances comparées, composition).
Pour dériver ln(u) ou e^u, le candidat écrit (ln u)' = 1/u ou (e^u)' = e^u, oubliant le facteur u' ; de même il dérive x ↦ ln(x²+1) comme 1/(x²+1) et obtient un signe de dérivée faux, donc un tableau de variations faux.
La formule de dérivation composée est retenue sous forme abrégée et le facteur interne disparaît quand u est simple ; le candidat ne vérifie pas son résultat sur un cas test et enchaîne sur le tableau de variations sans contrôler la cohérence.
What to do instead
Écrire systématiquement la formule complète avant d'appliquer : (ln u)' = u'/u et (e^u)' = u' e^u, en posant u(x) = ... puis u'(x) = ... sur deux lignes séparées. Contrôler ensuite le signe de la dérivée en un point numérique choisi (par exemple x = 0 ou x = 1) et vérifier que le sens de variation du tableau correspond. Mémoriser aussi le domaine de validité : ln u exige u > 0.
Dans un calcul d'intégrale, le candidat primitive terme à terme sans vérifier qu'une primitive existe sous la forme supposée, oublie le signe dans ∫_a^b f = −∫_b^a, ou écrit ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) avec une primitive fausse d'un facteur constant (par exemple primitive de e^{2x} écrite e^{2x} au lieu de e^{2x}/2).
La formule de Newton-Leibniz est appliquée mécaniquement sans le contrôle de dérivation de la primitive ; le facteur 1/a de la primitive de e^{ax} ou de cos(ax) est régulièrement perdu, et les propriétés de Chasles et d'orientation ne sont pas réinvesties.
What to do instead
Toujours vérifier la primitive en la dérivant sur le brouillon : si F' ≠ f, corriger le coefficient. Poser l'intégrale sous la forme ∫_a^b f(x) dx avec les bornes dans le bon ordre avant de calculer, et écrire F(b) − F(a) entre crochets. Pour les intégrales de la forme u'e^u ou u'/u, identifier u et u' explicitement avant de primitiver.
Face à y' = ay + b, le candidat cherche une solution particulière constante mais l'écrit y = b au lieu de y = −b/a, ou oublie la solution homogène et ne propose que la solution particulière, ou inverse les rôles de a et de la variable dans l'exponentielle (écrit e^{ax} avec le mauvais coefficient).
La résolution est mémorisée comme un enchaînement de formules sans le sens de « solution générale = solution homogène + solution particulière » ; le candidat ne reporte pas sa solution dans l'équation différentielle pour la contrôler, ce qui laisserait apparaître l'erreur immédiatement.
What to do instead
Structurer la réponse en trois temps explicites : (1) équation homogène y' = ay, solutions y = C e^{ax} ; (2) solution particulière constante y_p = −b/a, justifiée en la réinjectant ; (3) solution générale = homogène + particulière. Terminer par la détermination de C avec la condition initiale et par une vérification numérique en reportant la solution dans l'équation.
Dans un dénombrement, le candidat choisit entre arrangement, combinaison et puissance sans critère, par exemple compte les tirages simultanés avec un arrangement (ordre pris en compte alors qu'il ne l'est pas), ou additionne des cas qui se recoupent dans un comptage par union.
Les formules sont apprises isolément, sans la question préalable « l'ordre compte-t-il ? » et « y a-t-il répétition ? » ; le principe additif est appliqué à des ensembles non disjoints, et le candidat ne teste pas sa formule sur un cas de petite taille.
What to do instead
Avant tout calcul, répondre par écrit à trois questions : ordre ou pas, répétition ou pas, objets distincts ou non. Choisir ensuite parmi les quatre modèles (p-uplet, arrangement, combinaison, permutation) et justifier le choix en une phrase. Pour une union, vérifier la disjonction des cas ou retrancher l'intersection. Valider le résultat en dénombrant à la main un cas réduit (par exemple 3 objets au lieu de 10).
En géométrie dans l'espace, le candidat conclut qu'une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à une droite de ce plan, ou vérifie l'orthogonalité d'une droite et d'un plan avec un seul vecteur directeur du plan au lieu d'une base de deux vecteurs non colinéaires.
Le critère du plan est transféré abusivement depuis la géométrie plane, où une seule droite perpendiculaire suffit dans un contexte donné ; la différence entre orthogonalité et perpendicularité (qui exige l'intersection) n'est pas stabilisée, et le rôle de la base du plan est sous-estimé.
What to do instead
Énoncer le critère avant de l'utiliser : une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc à une base. Vérifier les deux produits scalaires séparément et les écrire. Distinguer orthogonal (produit scalaire nul) et perpendiculaire (orthogonal et sécant), et justifier l'intersection par un système quand la question le demande.
Dans un exercice de probabilités conditionnelles, le candidat écrit P(A|B) = P(B|A), ou calcule P(A ∩ B) = P(A) × P(B) sans avoir établi l'indépendance, ou confond P(A ∪ B) avec P(A) + P(B) sans retrancher l'intersection.
La formule de Bayes et la définition de l'indépendance sont retenues comme des égalités symétriques ; le mot « sachant que » n'est pas traduit en conditionnement, et l'indépendance est supposée par confort (« les événements semblent indépendants ») au lieu d'être démontrée ou donnée par l'énoncé.
What to do instead
Traduire chaque « sachant que » en barre verticale, et écrire la formule de probabilité totale avant tout calcul dans un arbre pondéré. Pour l'indépendance, vérifier P(A ∩ B) = P(A) × P(B) avec les valeurs numériques, ou citer l'énoncé si elle est admise. Pour une union, appliquer P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) et ne simplifier que si l'intersection est vide.
Pour une variable aléatoire X ~ B(n, p), le candidat calcule P(X = k) avec la formule de la loi binomiale mais oublie le coefficient binomial, ou répond à P(X ≥ 1) en calculant P(X = 1), ou utilise la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise sur une population finie.
La formule est mémorisée partiellement (p^k (1−p)^{n−k} sans le coefficient), et la lecture des inégalités « au moins », « au plus », « strictement » n'est pas convertie en événements complémentaires. Les conditions d'application (épreuves identiques et indépendantes) ne sont pas vérifiées.
What to do instead
Écrire la formule complète P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} en nommant n, p et k avant de remplacer. Pour « au moins un », utiliser P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Vérifier les hypothèses : répétition identique et indépendante, sinon signaler qu'on est en tirage sans remise. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat (une probabilité entre 0 et 1, cohérente avec p).
Dans un exercice d'algorithmique, le candidat lit un programme Python et prédit la sortie en simulant seulement la première itération, ou ne repère pas qu'une variable est réaffectée dans la boucle, ou écrit une boucle while sans condition d'arrêt garantie.
La lecture de code est faite en survol, sans tableau de suivi des variables ; l'affectation est lue comme une égalité mathématique, et la portée des variables ou l'effet d'un return dans une fonction ne sont pas anticipés.
What to do instead
Construire systématiquement un tableau de suivi avec une colonne par variable et une ligne par itération, jusqu'à la condition d'arrêt. Distinguer à l'écrit l'affectation (←) de l'égalité (=). Pour une boucle while, vérifier qu'une quantité strictement monotone et bornée garantit la terminaison, et justifier l'invariant de boucle quand la question demande de prouver le résultat du programme.