Bac Maths Spécialité cheat sheet

Une suite (u_n) est croissante si pour tout n, u_{n+1} − u_n ≥ 0 ; l'étude du signe de u_{n+1} − u_n ou du quotient u_{n+1}/u_n (termes positifs) décide de la monotonie.

Théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. La limite est alors le plus petit majorant (resp. plus grand minorant).

Suite arithmétique : u_n = u_0 + nr, somme des termes consécutifs = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2.

Suite géométrique : u_n = u_0 × q^n ; si |q| < 1 alors q^n → 0 ; si q > 1 alors q^n → +∞ ; somme finie = premier terme × (1 − q^{nombre de termes})/(1 − q) pour q ≠ 1.

Suite majorée/minorée : (u_n) est majorée s'il existe M réel tel que u_n ≤ M pour tout n ; un majorant n'est pas unique, le plus petit est le sup lorsqu'il est atteint.

Suites adjacentes : si (u_n) croissante, (v_n) décroissante et v_n − u_n → 0, alors les deux suites convergent vers une même limite et u_n ≤ v_n pour tout n.

Récurrence : pour montrer une propriété P(n) pour tout n ≥ n_0, on vérifie P(n_0) (initialisation) puis P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité).

Suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) : si (u_n) converge vers ℓ et f continue, alors ℓ = f(ℓ) ; les points fixes de f sont les seules limites possibles.

Divergence vers +∞ : pour tout réel A, il existe un rang N tel que n ≥ N ⇒ u_n ≥ A ; on note lim u_n = +∞.

Limites usuelles en 0 : lim_{x→0} sin x / x = 1 ; lim_{x→0} (e^x − 1)/x = 1 ; lim_{x→0} ln(1 + x)/x = 1.

Croissances comparées : en +∞, ln x / x → 0, e^x / x → +∞, x^n / e^x → 0 ; en 0+, x ln x → 0.

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a, b] et k compris entre f(a) et f(b), il existe c dans [a, b] tel que f(c) = k. Si f est de plus strictement monotone, c est unique.

Dérivée et monotonie : f' ≥ 0 sur un intervalle ⇒ f croissante ; f' ≤ 0 ⇒ f décroissante ; f'(x_0) = 0 avec changement de signe ⇒ extremum local en x_0.

Formules de dérivation : (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (u∘v)' = v' × u'∘v ; (√u)' = u'/(2√u) ; (u^n)' = n u' u^{n−1}.

Composées : (e^u)' = u' e^u ; (ln u)' = u'/u pour u > 0 ; (sin u)' = u' cos u ; (cos u)' = −u' sin u.

Asymptote : si lim_{x→+∞} f(x) = ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale ; si lim_{x→a} f(x) = ±∞, la droite x = a est asymptote verticale.

Forme indéterminée : factoriser par le terme dominant ou utiliser la quantité conjuguée pour lever 0/0 ou ∞/∞ ; pour les polynômes, la limite en ±∞ est celle du terme de plus haut degré.

Dérivée de la réciproque : si f est dérivable et f'(a) ≠ 0, alors (f^{−1})'(f(a)) = 1/f'(a).

Définition : exp est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1 ; on note e^x. Pour tout x, e^x > 0.

Propriétés algébriques : e^{x+y} = e^x e^y ; e^{−x} = 1/e^x ; e^{x−y} = e^x/e^y ; (e^x)^n = e^{nx}.

ln est la réciproque de exp : ln(e^x) = x pour tout x réel ; e^{ln x} = x pour x > 0 ; ln 1 = 0, ln e = 1.

Propriétés de ln : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(a^n) = n ln a pour a, b > 0.

Dérivées : (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x sur ]0, +∞[ ; ln est strictement croissante sur ]0, +∞[, exp strictement croissante sur ℝ.

Limites : lim_{x→+∞} e^x = +∞, lim_{x→−∞} e^x = 0 ; lim_{x→0+} ln x = −∞, lim_{x→+∞} ln x = +∞.

Équations : e^a = e^b ⇔ a = b ; ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) ; e^x = k avec k > 0 ⇔ x = ln k ; ln x = k ⇔ x = e^k.

Signe : e^x − 1 a le signe de x ; ln x a le signe de x − 1 (négatif sur ]0, 1[, positif sur ]1, +∞[).

Croissance comparée : pour tout n ≥ 1, lim_{x→+∞} e^x / x^n = +∞ et lim_{x→+∞} (ln x)/x^n = 0.

F est une primitive de f sur I si F' = f sur I ; deux primitives diffèrent d'une constante. Primitives usuelles : x^n → x^{n+1}/(n+1) (n ≠ −1), 1/x → ln|x|, e^x → e^x, cos → sin, sin → −cos.

Théorème fondamental : si f est continue sur [a, b] et F une primitive, alors ∫_a^b f(t) dt = F(b) − F(a).

Linéarité : ∫_a^b (αf + βg) = α∫_a^b f + β∫_a^b g ; relation de Chasles : ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f.

Positivité : si f ≥ 0 sur [a, b] avec a ≤ b, alors ∫_a^b f ≥ 0 ; l'intégrale mesure l'aire sous la courbe (en unités d'aire).

Intégration par parties : ∫_a^b u'v = [uv]_a^b − ∫_a^b uv' ; utile pour x e^x, x ln x, ln x.

Valeur moyenne : la valeur moyenne de f sur [a, b] est (1/(b−a)) ∫_a^b f(t) dt ; il existe c dans [a, b] tel que f(c) égale cette moyenne si f est continue.

Primitive de u'e^u : e^u ; de u'/u : ln|u| ; de u'u^n : u^{n+1}/(n+1) ; de u'/√u : 2√u.

Si f est continue et positive sur [a, b], la fonction F : x ↦ ∫_a^x f(t) dt est dérivable et F' = f.

Intégrale et parité : si f est impaire, ∫{−a}^a f = 0 ; si f est paire, ∫{−a}^a f = 2∫_0^a f.

Équation y' = ay : les solutions sont y(x) = C e^{ax}, C ∈ ℝ ; la condition initiale y(x_0) = y_0 fixe C = y_0 e^{−a x_0}.

Équation y' = ay + b (a ≠ 0) : solution particulière constante y_p = −b/a ; solutions générales y(x) = C e^{ax} − b/a.

Équation y'' + ω² y = 0 (ω ≠ 0) : solutions y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx), A, B réels ; forme équivalente R cos(ωx − φ).

Équation y'' + ω² y = 0 : la donnée de y(0) et y'(0) détermine A et B de façon unique (A = y(0), B = y'(0)/ω).

Principe de superposition : pour y' = ay + b, la solution générale est somme de la solution générale de l'équation homogène y' = ay et d'une solution particulière.

Équation y' = ay + f(x) : on cherche une solution particulière adaptée à f (polynôme de même degré, exponentielle, etc.), puis on ajoute C e^{ax}.

Modèle exponentiel : la solution de y' = ky avec k > 0 croît exponentiellement ; avec k < 0 elle décroît vers 0 (décroissance radioactive, refroidissement).

Vérification : une fonction proposée est solution si et seulement si elle satisfait l'équation pour tout x de l'intervalle considéré ; toujours dériver puis substituer.

Principe multiplicatif : si une situation se décompose en étapes successives avec n_1, n_2, …, n_k choix, le nombre total de possibilités est n_1 × n_2 × … × n_k.

Nombre d'arrangements de k éléments parmi n : A_n^k = n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)! ; c'est le nombre de k-uplets d'éléments distincts.

Nombre de combinaisons : C_n^k = n!/(k!(n−k)!) ; C_n^k = C_n^{n−k} ; relation de Pascal : C_n^k = C_{n−1}^{k−1} + C_{n−1}^k.

Nombre de permutations de n objets distincts : n! ; 0! = 1 par convention.

Nombre de parties d'un ensemble à n éléments : 2^n ; plus généralement, Σ_{k=0}^n C_n^k = 2^n.

Formule du binôme : (a + b)^n = Σ_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n−k} ; les coefficients binomiaux sont les coefficients du développement.

Tirages : tirage simultané (sans ordre, sans remise) → combinaisons ; tirage successif avec remise → n^k ; tirage successif sans remise → A_n^k.

Événement contraire en dénombrement : compter le complément quand « au moins un » apparaît, puis utiliser total − complément.

Principe additif : si deux ensembles de possibilités sont disjoints, le nombre total est la somme des cardinaux.

Repère de l'espace : (O ; i, j, k) avec i, j, k non coplanaires ; tout point M a des coordonnées uniques (x, y, z).

Vecteurs : AB = (x_B − x_A, y_B − y_A, z_B − z_A) ; deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre (coordonnées proportionnelles).

Représentation paramétrique d'une droite : passant par A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a, b, c) : x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, t ∈ ℝ.

Deux droites sont coplanaires si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ou s'il existe un point de l'une dans un plan contenant l'autre ; sinon elles sont non coplanaires.

Un plan est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.

Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) ; le vecteur (a, b, c) est normal au plan.

Intersection droite-plan : substituer la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan ; l'équation en t donne le point d'intersection ou prouve le parallélisme.

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; ils sont sécants selon une droite sinon.

Position relative de deux droites : résoudre le système des représentations paramétriques ; une solution unique = sécantes, infinité = confondues, aucune = parallèles ou non coplanaires.

Produit scalaire : u·v = xx' + yy' + zz' pour u(x, y, z) et v(x', y', z') ; u·u = ‖u‖².

Norme : ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; distance AB = ‖AB‖.

Orthogonalité : u ⊥ v ⇔ u·v = 0 ; deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, perpendiculaires si elles se coupent en plus.

Un vecteur n est normal à un plan P si n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P ; l'équation du plan est alors n·(AM) = 0.

Distance d'un point M(x_0, y_0, z_0) au plan ax + by + cz + d = 0 : |ax_0 + by_0 + cz_0 + d| / √(a² + b² + c²).

Projeté orthogonal H de M sur le plan P : H est l'intersection de P avec la droite passant par M et de vecteur directeur normal n ; MH est la distance minimale.

Identité de polarisation : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖² ; ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2u·v + ‖v‖².

Algorithme d'orthogonalité : pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs u et v, résoudre u·n = 0 et v·n = 0 en choisissant une coordonnée arbitrairement.

Produit scalaire et angle : u·v = ‖u‖‖v‖ cos θ ; si u·v > 0 l'angle est aigu, si u·v < 0 il est obtus.

Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) pour P(B) > 0 ; formule des probabilités totales : P(A) = Σ P(B_i) P(A|B_i) sur une partition (B_i).

Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0).

Formule de Bayes : P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A) ; utile pour inverser un conditionnement dans un arbre pondéré.

Variable aléatoire discrète : loi donnée par les valeurs x_i et les probabilités p_i ; E(X) = Σ x_i p_i ; V(X) = Σ x_i² p_i − E(X)² ; σ(X) = √V(X).

Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a² V(X).

Si X et Y sont indépendantes : E(XY) = E(X)E(Y) et V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x) ; elle est croissante, vaut 0 avant la plus petite valeur et 1 après la plus grande.

Arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement est la somme des chemins qui le réalisent.

Espérance comme moyenne : sur un grand nombre de répétitions, la moyenne observée de X se rapproche de E(X) (loi des grands nombres).

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues (succès de probabilité p, échec 1 − p) ; la loi de Bernoulli a pour espérance p et variance p(1 − p).

Loi binomiale B(n, p) : X compte le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; P(X = k) = C_n^k p^k (1 − p)^{n−k}.

Espérance et variance : E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √(np(1 − p)).

La loi binomiale modélise un tirage avec remise ou un tirage sans remise si la population est grande (au moins 10 fois la taille de l'échantillon).

Intervalle de fluctuation asymptotique au niveau 95 % : [p − 1,96 √(p(1−p)/n) ; p + 1,96 √(p(1−p)/n)] ; il sert à décider si une fréquence observée est compatible avec le modèle.

Prise de décision : si la fréquence observée f appartient à l'intervalle de fluctuation, on ne rejette pas l'hypothèse p ; sinon on la rejette au seuil de 5 %.

Espérance conditionnelle : E(X | X ≥ 1) = E(X)/(1 − P(X = 0)) pour une loi binomiale, car X ≥ 1 exclut le cas « aucun succès ».

Calculs cumulés : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ; utiliser la calculatrice ou le tableau pour les sommes de C_n^k p^k (1−p)^{n−k}.

Conditions d'approximation : pour n ≥ 30 et np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5, l'intervalle de fluctuation asymptotique est valide.

Boucle bornée : for i in range(n) exécute n itérations (i de 0 à n−1) ; range(a, b) va de a à b−1 ; range(a, b, p) avec pas p.

Boucle conditionnelle : while condition : … s'arrête quand la condition devient fausse ; risque de boucle infinie si la condition ne change jamais.

Suite récurrente : u = u0 ; for k in range(n): u = f(u) ; affiche u_n ; pour calculer un seuil, utiliser while u < A : … avec un compteur.

Fonction : def f(x): return expression ; les variables locales n'existent pas à l'extérieur ; return termine l'exécution de la fonction.

Listes : L = [1, 2, 3] ; L.append(x) ajoute en fin ; len(L) donne la taille ; L[i] accède à l'élément d'indice i (premier indice 0).

Dichotomie : pour approcher une solution de f(x) = 0 sur [a, b] avec f(a)f(b) < 0, calculer m = (a + b)/2 et remplacer a ou b selon le signe de f(m), jusqu'à b − a < précision.

Algorithme de seuil : initialiser n = 0, u = u_0 ; while u ≤ A : u = f(u) ; n = n + 1 ; la valeur finale de n est le rang cherché.

Simulation : random.random() renvoie un réel de [0, 1[ ; random.randint(a, b) renvoie un entier de [a, b] inclus ; on simule une Bernoulli de paramètre p par random.random() < p.

Complexité : une boucle simple est linéaire ; deux boucles imbriquées de taille n donnent n² opérations ; la dichotomie est logarithmique (environ log2((b−a)/ε) itérations).

Raisonnement direct : pour prouver « si P alors Q », on suppose P vraie et on démontre Q par une chaîne d'implications.

Contraposée : « P ⇒ Q » équivaut à « non Q ⇒ non P » ; utile quand la conclusion est négative ou difficile à manipuler directement.

Absurde : pour prouver P, on suppose non P et on aboutit à une contradiction ; fréquent pour l'irrationalité de √2 ou l'unicité d'une limite.

Contre-exemple : pour réfuter un énoncé universel « pour tout x, P(x) », il suffit d'un seul x où P(x) est faux.

Récurrence : initialisation (P(n_0) vraie), hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)), conclusion ; indispensable pour les formules de sommes et les inégalités de suites.

Disjonction de cas : on partage l'ensemble des possibilités en cas exhaustifs et on démontre la propriété dans chaque cas (parité, signe, ordre de deux réels).

Équivalence : pour prouver « P ⇔ Q », on démontre séparément « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » ; attention à ne pas confondre condition nécessaire et condition suffisante.

Analyse-synthèse : on suppose l'existence d'une solution pour en déduire des conditions nécessaires (analyse), puis on vérifie que ces conditions sont suffisantes (synthèse).

Rédaction : énoncer les hypothèses, citer le théorème utilisé avec ses conditions de validité, conclure explicitement ; un calcul sans justification ne vaut pas démonstration.

Une suite (u_n) est croissante si pour tout n, u_{n+1} − u_n ≥ 0 ; l'étude du signe de u_{n+1} − u_n ou du quotient u_{n+1}/u_n (termes positifs) décide de la monotonie.

Théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. La limite est alors le plus petit majorant (resp. plus grand minorant).

Suite arithmétique : u_n = u_0 + nr, somme des termes consécutifs = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2.

Suite géométrique : u_n = u_0 × q^n ; si |q| < 1 alors q^n → 0 ; si q > 1 alors q^n → +∞ ; somme finie = premier terme × (1 − q^{nombre de termes})/(1 − q) pour q ≠ 1.

Suite majorée/minorée : (u_n) est majorée s'il existe M réel tel que u_n ≤ M pour tout n ; un majorant n'est pas unique, le plus petit est le sup lorsqu'il est atteint.

Suites adjacentes : si (u_n) croissante, (v_n) décroissante et v_n − u_n → 0, alors les deux suites convergent vers une même limite et u_n ≤ v_n pour tout n.

Récurrence : pour montrer une propriété P(n) pour tout n ≥ n_0, on vérifie P(n_0) (initialisation) puis P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité).

Suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) : si (u_n) converge vers ℓ et f continue, alors ℓ = f(ℓ) ; les points fixes de f sont les seules limites possibles.

Divergence vers +∞ : pour tout réel A, il existe un rang N tel que n ≥ N ⇒ u_n ≥ A ; on note lim u_n = +∞.

Limites usuelles en 0 : lim_{x→0} sin x / x = 1 ; lim_{x→0} (e^x − 1)/x = 1 ; lim_{x→0} ln(1 + x)/x = 1.

Croissances comparées : en +∞, ln x / x → 0, e^x / x → +∞, x^n / e^x → 0 ; en 0+, x ln x → 0.

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a, b] et k compris entre f(a) et f(b), il existe c dans [a, b] tel que f(c) = k. Si f est de plus strictement monotone, c est unique.

Dérivée et monotonie : f' ≥ 0 sur un intervalle ⇒ f croissante ; f' ≤ 0 ⇒ f décroissante ; f'(x_0) = 0 avec changement de signe ⇒ extremum local en x_0.

Formules de dérivation : (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (u∘v)' = v' × u'∘v ; (√u)' = u'/(2√u) ; (u^n)' = n u' u^{n−1}.

Composées : (e^u)' = u' e^u ; (ln u)' = u'/u pour u > 0 ; (sin u)' = u' cos u ; (cos u)' = −u' sin u.

Asymptote : si lim_{x→+∞} f(x) = ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale ; si lim_{x→a} f(x) = ±∞, la droite x = a est asymptote verticale.

Forme indéterminée : factoriser par le terme dominant ou utiliser la quantité conjuguée pour lever 0/0 ou ∞/∞ ; pour les polynômes, la limite en ±∞ est celle du terme de plus haut degré.

Dérivée de la réciproque : si f est dérivable et f'(a) ≠ 0, alors (f^{−1})'(f(a)) = 1/f'(a).

Définition : exp est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1 ; on note e^x. Pour tout x, e^x > 0.

Propriétés algébriques : e^{x+y} = e^x e^y ; e^{−x} = 1/e^x ; e^{x−y} = e^x/e^y ; (e^x)^n = e^{nx}.

ln est la réciproque de exp : ln(e^x) = x pour tout x réel ; e^{ln x} = x pour x > 0 ; ln 1 = 0, ln e = 1.

Propriétés de ln : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(a^n) = n ln a pour a, b > 0.

Dérivées : (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x sur ]0, +∞[ ; ln est strictement croissante sur ]0, +∞[, exp strictement croissante sur ℝ.

Limites : lim_{x→+∞} e^x = +∞, lim_{x→−∞} e^x = 0 ; lim_{x→0+} ln x = −∞, lim_{x→+∞} ln x = +∞.

Équations : e^a = e^b ⇔ a = b ; ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) ; e^x = k avec k > 0 ⇔ x = ln k ; ln x = k ⇔ x = e^k.

Signe : e^x − 1 a le signe de x ; ln x a le signe de x − 1 (négatif sur ]0, 1[, positif sur ]1, +∞[).

Croissance comparée : pour tout n ≥ 1, lim_{x→+∞} e^x / x^n = +∞ et lim_{x→+∞} (ln x)/x^n = 0.

F est une primitive de f sur I si F' = f sur I ; deux primitives diffèrent d'une constante. Primitives usuelles : x^n → x^{n+1}/(n+1) (n ≠ −1), 1/x → ln|x|, e^x → e^x, cos → sin, sin → −cos.

Théorème fondamental : si f est continue sur [a, b] et F une primitive, alors ∫_a^b f(t) dt = F(b) − F(a).

Linéarité : ∫_a^b (αf + βg) = α∫_a^b f + β∫_a^b g ; relation de Chasles : ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f.

Positivité : si f ≥ 0 sur [a, b] avec a ≤ b, alors ∫_a^b f ≥ 0 ; l'intégrale mesure l'aire sous la courbe (en unités d'aire).

Intégration par parties : ∫_a^b u'v = [uv]_a^b − ∫_a^b uv' ; utile pour x e^x, x ln x, ln x.

Valeur moyenne : la valeur moyenne de f sur [a, b] est (1/(b−a)) ∫_a^b f(t) dt ; il existe c dans [a, b] tel que f(c) égale cette moyenne si f est continue.

Primitive de u'e^u : e^u ; de u'/u : ln|u| ; de u'u^n : u^{n+1}/(n+1) ; de u'/√u : 2√u.

Si f est continue et positive sur [a, b], la fonction F : x ↦ ∫_a^x f(t) dt est dérivable et F' = f.

Intégrale et parité : si f est impaire, ∫{−a}^a f = 0 ; si f est paire, ∫{−a}^a f = 2∫_0^a f.

Équation y' = ay : les solutions sont y(x) = C e^{ax}, C ∈ ℝ ; la condition initiale y(x_0) = y_0 fixe C = y_0 e^{−a x_0}.

Équation y' = ay + b (a ≠ 0) : solution particulière constante y_p = −b/a ; solutions générales y(x) = C e^{ax} − b/a.

Équation y'' + ω² y = 0 (ω ≠ 0) : solutions y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx), A, B réels ; forme équivalente R cos(ωx − φ).

Équation y'' + ω² y = 0 : la donnée de y(0) et y'(0) détermine A et B de façon unique (A = y(0), B = y'(0)/ω).

Principe de superposition : pour y' = ay + b, la solution générale est somme de la solution générale de l'équation homogène y' = ay et d'une solution particulière.

Équation y' = ay + f(x) : on cherche une solution particulière adaptée à f (polynôme de même degré, exponentielle, etc.), puis on ajoute C e^{ax}.

Modèle exponentiel : la solution de y' = ky avec k > 0 croît exponentiellement ; avec k < 0 elle décroît vers 0 (décroissance radioactive, refroidissement).

Vérification : une fonction proposée est solution si et seulement si elle satisfait l'équation pour tout x de l'intervalle considéré ; toujours dériver puis substituer.

Principe multiplicatif : si une situation se décompose en étapes successives avec n_1, n_2, …, n_k choix, le nombre total de possibilités est n_1 × n_2 × … × n_k.

Nombre d'arrangements de k éléments parmi n : A_n^k = n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)! ; c'est le nombre de k-uplets d'éléments distincts.

Nombre de combinaisons : C_n^k = n!/(k!(n−k)!) ; C_n^k = C_n^{n−k} ; relation de Pascal : C_n^k = C_{n−1}^{k−1} + C_{n−1}^k.

Nombre de permutations de n objets distincts : n! ; 0! = 1 par convention.

Nombre de parties d'un ensemble à n éléments : 2^n ; plus généralement, Σ_{k=0}^n C_n^k = 2^n.

Formule du binôme : (a + b)^n = Σ_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n−k} ; les coefficients binomiaux sont les coefficients du développement.

Tirages : tirage simultané (sans ordre, sans remise) → combinaisons ; tirage successif avec remise → n^k ; tirage successif sans remise → A_n^k.

Événement contraire en dénombrement : compter le complément quand « au moins un » apparaît, puis utiliser total − complément.

Principe additif : si deux ensembles de possibilités sont disjoints, le nombre total est la somme des cardinaux.

Repère de l'espace : (O ; i, j, k) avec i, j, k non coplanaires ; tout point M a des coordonnées uniques (x, y, z).

Vecteurs : AB = (x_B − x_A, y_B − y_A, z_B − z_A) ; deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre (coordonnées proportionnelles).

Représentation paramétrique d'une droite : passant par A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a, b, c) : x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, t ∈ ℝ.

Deux droites sont coplanaires si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ou s'il existe un point de l'une dans un plan contenant l'autre ; sinon elles sont non coplanaires.

Un plan est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.

Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) ; le vecteur (a, b, c) est normal au plan.

Intersection droite-plan : substituer la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan ; l'équation en t donne le point d'intersection ou prouve le parallélisme.

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; ils sont sécants selon une droite sinon.

Position relative de deux droites : résoudre le système des représentations paramétriques ; une solution unique = sécantes, infinité = confondues, aucune = parallèles ou non coplanaires.

Produit scalaire : u·v = xx' + yy' + zz' pour u(x, y, z) et v(x', y', z') ; u·u = ‖u‖².

Norme : ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; distance AB = ‖AB‖.

Orthogonalité : u ⊥ v ⇔ u·v = 0 ; deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, perpendiculaires si elles se coupent en plus.

Un vecteur n est normal à un plan P si n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P ; l'équation du plan est alors n·(AM) = 0.

Distance d'un point M(x_0, y_0, z_0) au plan ax + by + cz + d = 0 : |ax_0 + by_0 + cz_0 + d| / √(a² + b² + c²).

Projeté orthogonal H de M sur le plan P : H est l'intersection de P avec la droite passant par M et de vecteur directeur normal n ; MH est la distance minimale.

Identité de polarisation : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖² ; ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2u·v + ‖v‖².

Algorithme d'orthogonalité : pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs u et v, résoudre u·n = 0 et v·n = 0 en choisissant une coordonnée arbitrairement.

Produit scalaire et angle : u·v = ‖u‖‖v‖ cos θ ; si u·v > 0 l'angle est aigu, si u·v < 0 il est obtus.

Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) pour P(B) > 0 ; formule des probabilités totales : P(A) = Σ P(B_i) P(A|B_i) sur une partition (B_i).

Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0).

Formule de Bayes : P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A) ; utile pour inverser un conditionnement dans un arbre pondéré.

Variable aléatoire discrète : loi donnée par les valeurs x_i et les probabilités p_i ; E(X) = Σ x_i p_i ; V(X) = Σ x_i² p_i − E(X)² ; σ(X) = √V(X).

Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a² V(X).

Si X et Y sont indépendantes : E(XY) = E(X)E(Y) et V(X + Y) = V(X) + V(Y).

Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x) ; elle est croissante, vaut 0 avant la plus petite valeur et 1 après la plus grande.

Arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement est la somme des chemins qui le réalisent.

Espérance comme moyenne : sur un grand nombre de répétitions, la moyenne observée de X se rapproche de E(X) (loi des grands nombres).

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues (succès de probabilité p, échec 1 − p) ; la loi de Bernoulli a pour espérance p et variance p(1 − p).

Loi binomiale B(n, p) : X compte le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; P(X = k) = C_n^k p^k (1 − p)^{n−k}.

Espérance et variance : E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √(np(1 − p)).

La loi binomiale modélise un tirage avec remise ou un tirage sans remise si la population est grande (au moins 10 fois la taille de l'échantillon).

Intervalle de fluctuation asymptotique au niveau 95 % : [p − 1,96 √(p(1−p)/n) ; p + 1,96 √(p(1−p)/n)] ; il sert à décider si une fréquence observée est compatible avec le modèle.

Prise de décision : si la fréquence observée f appartient à l'intervalle de fluctuation, on ne rejette pas l'hypothèse p ; sinon on la rejette au seuil de 5 %.

Espérance conditionnelle : E(X | X ≥ 1) = E(X)/(1 − P(X = 0)) pour une loi binomiale, car X ≥ 1 exclut le cas « aucun succès ».

Calculs cumulés : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ; utiliser la calculatrice ou le tableau pour les sommes de C_n^k p^k (1−p)^{n−k}.

Conditions d'approximation : pour n ≥ 30 et np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5, l'intervalle de fluctuation asymptotique est valide.

Boucle bornée : for i in range(n) exécute n itérations (i de 0 à n−1) ; range(a, b) va de a à b−1 ; range(a, b, p) avec pas p.

Boucle conditionnelle : while condition : … s'arrête quand la condition devient fausse ; risque de boucle infinie si la condition ne change jamais.

Suite récurrente : u = u0 ; for k in range(n): u = f(u) ; affiche u_n ; pour calculer un seuil, utiliser while u < A : … avec un compteur.

Fonction : def f(x): return expression ; les variables locales n'existent pas à l'extérieur ; return termine l'exécution de la fonction.

Listes : L = [1, 2, 3] ; L.append(x) ajoute en fin ; len(L) donne la taille ; L[i] accède à l'élément d'indice i (premier indice 0).

Dichotomie : pour approcher une solution de f(x) = 0 sur [a, b] avec f(a)f(b) < 0, calculer m = (a + b)/2 et remplacer a ou b selon le signe de f(m), jusqu'à b − a < précision.

Algorithme de seuil : initialiser n = 0, u = u_0 ; while u ≤ A : u = f(u) ; n = n + 1 ; la valeur finale de n est le rang cherché.

Simulation : random.random() renvoie un réel de [0, 1[ ; random.randint(a, b) renvoie un entier de [a, b] inclus ; on simule une Bernoulli de paramètre p par random.random() < p.

Complexité : une boucle simple est linéaire ; deux boucles imbriquées de taille n donnent n² opérations ; la dichotomie est logarithmique (environ log2((b−a)/ε) itérations).

Raisonnement direct : pour prouver « si P alors Q », on suppose P vraie et on démontre Q par une chaîne d'implications.

Contraposée : « P ⇒ Q » équivaut à « non Q ⇒ non P » ; utile quand la conclusion est négative ou difficile à manipuler directement.

Absurde : pour prouver P, on suppose non P et on aboutit à une contradiction ; fréquent pour l'irrationalité de √2 ou l'unicité d'une limite.

Contre-exemple : pour réfuter un énoncé universel « pour tout x, P(x) », il suffit d'un seul x où P(x) est faux.

Récurrence : initialisation (P(n_0) vraie), hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)), conclusion ; indispensable pour les formules de sommes et les inégalités de suites.

Disjonction de cas : on partage l'ensemble des possibilités en cas exhaustifs et on démontre la propriété dans chaque cas (parité, signe, ordre de deux réels).

Équivalence : pour prouver « P ⇔ Q », on démontre séparément « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » ; attention à ne pas confondre condition nécessaire et condition suffisante.

Analyse-synthèse : on suppose l'existence d'une solution pour en déduire des conditions nécessaires (analyse), puis on vérifie que ces conditions sont suffisantes (synthèse).

Rédaction : énoncer les hypothèses, citer le théorème utilisé avec ses conditions de validité, conclure explicitement ; un calcul sans justification ne vaut pas démonstration.