Bac Maths Spécialité key terms

Suite dont les termes se rapprochent d'un réel fixe appelé limite : tout intervalle ouvert contenant cette limite contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Nombre réel L tel que, pour tout intervalle ouvert contenant L, la suite finit par y rester définitivement ; on écrit lim un = L quand n tend vers l'infini.

Suite qui n'admet aucune limite finie : soit elle tend vers plus ou moins l'infini, soit elle oscille sans se stabiliser, comme la suite de terme (-1) puissance n.

Si une suite est encadrée entre deux suites qui convergent vers la même limite L, alors elle converge aussi vers L ; version suite : si un ≤ vn ≤ wn et un, wn tendent vers L, alors vn tend vers L.

Suite dont tous les termes restent dans un intervalle fixe [m, M] : il existe deux réels m et M tels que m ≤ un ≤ M pour tout entier n.

Suite définie par son premier terme et une relation un+1 = f(un) reliant chaque terme au suivant ; son étude utilise souvent les points fixes de f et la monotonie.

Suite dont les termes sont soit croissants (un+1 ≥ un), soit décroissants (un+1 ≤ un) pour tout n ; une suite monotone et bornée converge.

Comportement d'une fonction au voisinage d'un réel a : la limite L signifie que f(x) devient aussi proche que voulu de L dès que x est assez proche de a, sans nécessairement atteindre a.

Situation où f(x) dépasse tout réel fixé lorsque x s'approche d'un point ou tend vers l'infini ; on note lim f(x) = +∞ et la courbe admet éventuellement une asymptote verticale.

Propriété d'une fonction f en a lorsque lim f(x) quand x tend vers a existe et vaut f(a) ; la courbe ne présente alors pas de saut en ce point.

Si f est continue sur [a, b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = k ; avec la stricte monotonie, ce c est unique.

Limite du taux d'accroissement de f en a, notée f'(a) ; c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, mesurant la vitesse de variation locale.

Fonction qui à chaque x associe f'(x), le nombre dérivé de f en x, sur les points où la limite du taux d'accroissement existe ; elle décrit les variations de f.

Droite passant par le point de la courbe d'abscisse a et de coefficient directeur f'(a) ; son équation est y = f'(a)(x − a) + f(a).

Droite dont la courbe s'approche indéfiniment : asymptote verticale quand f(x) tend vers l'infini en un point a, asymptote horizontale ou oblique quand x tend vers l'infini.

Une fonction est croissante sur un intervalle si sa dérivée y est positive, décroissante si elle y est négative ; le signe de f' donne donc le sens de variation de f.

Maximum ou minimum atteint en un point d'un intervalle ouvert ; il survient souvent là où la dérivée s'annule en changeant de signe, mais pas toujours.

Unique fonction dérivable sur R égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 ; elle est strictement croissante, positive, et vérifie exp(x+y) = exp(x)·exp(y).

Réciproque de la fonction exponentielle, définie sur ]0, +∞[, de dérivée 1/x ; elle transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b.

Résultats de limites comparant puissances, exponentielle et logarithme à l'infini : exp(x)/x tend vers l'infini, ln(x)/x tend vers 0, et x^n·exp(−x) tend vers 0.

Fonction F dont la dérivée est f sur un intervalle ; deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, et F est définie à une constante additive près.

Aire sous la courbe entre deux bornes, définie comme limite de sommes ; si F est une primitive de f, l'intégrale de a à b vaut F(b) − F(a).

Il relie dérivation et intégration : si f est continue sur [a, b], la fonction x ↦ intégrale de a à x de f est dérivable et sa dérivée est f(x).

Technique fondée sur la formule ∫ u'v = [uv] − ∫ uv', utile pour intégrer des produits comme x·exp(x) ou x·ln(x), en choisissant bien la fonction à dériver.

Pour une fonction continue sur [a, b], moyenne de f sur l'intervalle, égale à (1/(b−a)) fois l'intégrale de a à b de f ; elle permet des estimations et des encadrements.

Équation reliant une fonction inconnue et ses dérivées de façon linéaire, du type y' = ay + b ; les solutions s'expriment à l'aide de l'exponentielle et d'une constante.

Ensemble de toutes les solutions d'une équation différentielle, décrit par une formule contenant une constante arbitraire, par exemple y = C·exp(ax) − b/a.

Valeur imposée à la solution en un point, comme y(0) = 3 ; elle détermine la constante et sélectionne une solution unique parmi toutes celles de l'équation différentielle.

Nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments, noté k parmi n ; il vaut n!/(k!(n−k)!) et apparaît dans le triangle de Pascal.

Produit des entiers de 1 à n, noté n! et valant 1 pour n = 0 ; elle compte les permutations d'un ensemble à n éléments et sert au calcul des coefficients binomiaux.

Développement de (a + b)^n comme somme des coefficients binomiaux multipliés par a^(n−k)·b^k ; elle permet aussi de compter les chemins dans un arbre.

Écriture d'une droite de l'espace sous la forme d'un point plus t fois un vecteur directeur, avec t réel ; elle décrit tous les points de la droite quand t varie.

Vecteur non nul parallèle à une droite ; il caractérise sa direction et sert à écrire une représentation paramétrique ou à tester le parallélisme.

Équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où (a, b, c) est un vecteur normal au plan ; elle décrit l'ensemble des points du plan dans un repère de l'espace.

Vecteurs dont les représentants peuvent être placés dans un même plan ; trois vecteurs sont coplanaires si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.

Nombre u·v = xx' + yy' + zz' pour deux vecteurs de coordonnées données ; il vaut aussi au produit des normes par le cosinus de l'angle entre eux.

Vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs d'un plan ; ses coordonnées fournissent directement les coefficients a, b, c de l'équation cartésienne du plan.

Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul ; une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Probabilité de A sachant B, notée P(A|B) et définie par P(A∩B)/P(B) lorsque P(B) est non nulle ; elle restreint l'univers des possibles à l'événement B.

Deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B) = P(A)·P(B), ce qui équivaut à P(A|B) = P(A) quand P(B) n'est pas nulle.

Si les événements B1, ..., Bn forment une partition de l'univers, alors P(A) est la somme des P(A∩Bi), souvent calculée via les probabilités conditionnelles P(A|Bi)·P(Bi).

Représentation graphique d'une expérience aléatoire en étapes, où chaque branche porte une probabilité ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.

Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire ; sa loi donne les probabilités des valeurs prises, son espérance la moyenne théorique.

Moyenne théorique d'une variable aléatoire, somme des valeurs pondérées par leurs probabilités ; elle s'interprète comme la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions.

Loi du nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p ; sa probabilité d'obtenir k succès vaut le coefficient binomial k parmi n fois p^k(1−p)^(n−k).

Expérience aléatoire à deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 − p ; sa répétition identique et indépendante engendre la loi binomiale.

Intervalle contenant la fréquence observée avec une probabilité élevée, par exemple au moins 0,95, lorsque l'on répète n fois une expérience de probabilité p ; il sert à décider si une observation est compatible avec le modèle.

Étude d'un échantillon de taille n issu d'une population ; on compare la fréquence observée à la fréquence théorique p pour valider ou rejeter une hypothèse sur la population.

Structure Python répétant des instructions un nombre fixé de fois, écrite for i in range(n) ; elle sert notamment à simuler n répétitions d'une expérience ou à calculer une somme.

Structure while qui répète des instructions tant qu'une condition reste vraie ; il faut vérifier qu'elle se termine, par exemple en faisant décroître une variable de contrôle.

Bloc d'instructions nommé, défini par def, qui reçoit des paramètres et renvoie éventuellement une valeur avec return ; elle structure et réutilise les calculs.

Estimation du nombre d'opérations élémentaires effectuées par un algorithme en fonction de la taille des données, souvent exprimée par un ordre de grandeur comme n ou n².

Propriété vraie avant et après chaque passage dans une boucle ; elle permet de démontrer par récurrence que l'algorithme produit bien le résultat attendu.

Méthode de démonstration en deux étapes : vérifier la propriété au rang initial, puis prouver que si elle est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1 ; elle conclut pour tous les rangs.

Forme de raisonnement fondée sur l'équivalence entre « A implique B » et « non B implique non A » ; on démontre la seconde assertion, souvent plus simple, pour établir la première.

Démonstration consistant à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver, puis à en déduire une contradiction ; la supposition est alors fausse et l'énoncé vrai.

Cas particulier qui rend fausse une affirmation générale ; un seul contre-exemple suffit à réfuter un énoncé universel, ce qui est souvent demandé en résolution de problèmes.