Panneau solaire : énergie, moyenne et seuil
Une installation solaire expérimentale produit une puissance P(t) = 500 + 400 sin(π t /12), en watts, où t est l'heure écoulée depuis 6 h du matin, pour 0 ≤ t ≤ 12 (jusqu'à 18 h). L'énergie produite sur cette plage, en wattheures, est E = ∫_0^12 P(t) dt. Un technicien de maintenance affirme que la puissance moyenne sur la journée vaut (500 + 900)/2 = 700 W, car la puissance varie linéairement entre 500 W et 900 W. Il affirme aussi que l'installation dépasse 700 W pendant exactement 6 heures. Le gestionnaire du réseau veut connaître l'énergie réellement injectée, la vraie puissance moyenne, et la durée exacte pendant laquelle P(t) ≥ 700 W. Le contrat de rachat prévoit une prime si l'énergie dépasse 6 kWh sur la plage étudiée.
1. Calculer l'énergie E produite sur la plage [0 ; 12] à l'aide d'une primitive, puis dire si la prime est déclenchée.
Read the worked answer
Une primitive de 500 est 500t. Une primitive de 400 sin(πt/12) est -400 × (12/π) cos(πt/12) = -(4800/π) cos(πt/12).
Donc E = [500t - (4800/π) cos(πt/12)]_0^{12}.
En t = 12 : 6000 - (4800/π) cos π = 6000 + 4800/π.
En t = 0 : 0 - (4800/π) cos 0 = -4800/π.
Ainsi E = 6000 + 9600/π ≈ 6000 + 3055,8 = 9055,8 Wh, soit environ 9,06 kWh.
Comme 9,06 kWh > 6 kWh, la prime est déclenchée.
2. Corriger l'affirmation du technicien sur la puissance moyenne. Calculer la vraie moyenne et expliquer l'erreur.
Read the worked answer
La puissance moyenne sur [0 ; 12] est E/12 = (6000 + 9600/π)/12 = 500 + 800/π ≈ 754,6 W.
Le technicien utilise la moyenne des valeurs extrêmes, ce qui n'est valable que pour une fonction affine. Or P(t) = 500 + 400 sin(πt/12) n'est pas affine : sur [0 ; 12], la fonction sinus est positive et concave, puis symétrique, et sa valeur moyenne vaut 2/π, pas 1/2. La moyenne correcte est donc 500 + 400 × (2/π) = 500 + 800/π ≈ 754,6 W, et non 700 W.
3. Déterminer la durée exacte pendant laquelle P(t) ≥ 700 W sur [0 ; 12]. Comparer à l'affirmation des 6 heures.
Read the worked answer
On résout 500 + 400 sin(πt/12) ≥ 700, soit sin(πt/12) ≥ 1/2.
Pour t ∈ [0 ; 12], l'angle θ = πt/12 parcourt [0 ; π]. Sur cet intervalle, sin θ ≥ 1/2 équivaut à θ ∈ [π/6 ; 5π/6].
Donc πt/12 ∈ [π/6 ; 5π/6], ce qui donne t ∈ [2 ; 10]. La durée est 10 - 2 = 8 heures.
L'installation dépasse 700 W pendant 8 heures, et non 6 heures. Le technicien a probablement supposé une montée linéaire, alors que la puissance suit une arche sinusoïdale.