Refroidissement du café et validité du modèle
Un laboratoire teste un nouveau café en capsule. À l'instant t = 0, une tasse de café est à 90 °C dans une salle maintenue à 20 °C. La loi de refroidissement de Newton modélise la température y(t), en °C, par l'équation différentielle y' = -0,04(y - 20), où t est en minutes. Le responsable qualité veut savoir au bout de combien de temps le café sera à 40 °C, température jugée optimale pour la dégustation. Un stagiaire affirme que, comme le café refroidit, il finira par atteindre 18 °C au bout de deux heures, soit 120 minutes. Il propose de modéliser la seconde phase par la même équation après avoir ajouté un glaçon, sans changer le coefficient. Le responsable doute de cette extrapolation et demande une résolution complète, une interprétation de la limite et une critique du raisonnement du stagiaire.
1. Résoudre l'équation différentielle y' = -0,04(y - 20) avec la condition initiale y(0) = 90.
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On pose z = y - 20. Alors z' = y', donc z' = -0,04z.
Les solutions de cette équation linéaire homogène sont z(t) = C e^{-0,04t}, avec C constante réelle.
Donc y(t) = 20 + C e^{-0,04t}.
La condition initiale donne 90 = 20 + C, donc C = 70.
Ainsi y(t) = 20 + 70 e^{-0,04t}, pour t ≥ 0.
2. Déterminer au bout de combien de minutes le café atteint 40 °C. Arrondir à la minute.
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On résout 20 + 70 e^{-0,04t} = 40.
70 e^{-0,04t} = 20, donc e^{-0,04t} = 20/70 = 2/7.
En prenant le logarithme népérien : -0,04t = ln(2/7), donc t = -ln(2/7)/0,04 = ln(3,5)/0,04.
Or ln(3,5) ≈ 1,2528, donc t ≈ 31,3 minutes.
Le café atteint 40 °C au bout d'environ 31 minutes.
3. Critiquer l'affirmation du stagiaire selon laquelle le café atteindra 18 °C en 120 minutes. Que peut-on dire de la limite de y(t) et de l'ajout d'un glaçon ?
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La solution y(t) = 20 + 70 e^{-0,04t} vérifie y(t) > 20 pour tout t fini, car 70 e^{-0,04t} > 0. La limite quand t tend vers +∞ est 20 °C, température de la salle, mais cette limite n'est jamais atteinte. Le café ne peut donc pas descendre à 18 °C dans ce modèle.
À t = 120, y(120) = 20 + 70 e^{-4,8} ≈ 20,58 °C, encore au-dessus de 20 °C.
L'affirmation est fausse. De plus, ajouter un glaçon modifie brutalement la température initiale et peut modifier les échanges thermiques : réutiliser la même équation avec le même coefficient sans justification n'est pas valide. Il faudrait au minimum changer la condition initiale et vérifier expérimentalement le nouveau coefficient.