Code du local : compter sans surcompter
Un club de robotique conçoit un cadenas à code pour protéger son local. Le code comporte quatre caractères distincts. Le premier caractère doit être une lettre parmi les 26 lettres de l'alphabet ; les trois suivants sont choisis parmi les 26 lettres et les 10 chiffres, sans répétition d'un caractère déjà utilisé. Pour renforcer la sécurité, le code doit contenir au moins un chiffre. Un membre affirme qu'il suffit de choisir un emplacement pour le chiffre obligatoire, puis de compléter : il propose le calcul 26 × 10 × 35 × 34, car le premier caractère est une lettre, le chiffre obligatoire a 10 choix, puis il reste 35 puis 34 caractères possibles. Le trésorier veut connaître le nombre total de codes possibles sans la contrainte de chiffre, le nombre de codes contenant au moins un chiffre, et la probabilité qu'un code respectant les trois premières contraintes contienne au moins un chiffre.
1. Calculer le nombre total de codes possibles en respectant uniquement les contraintes de longueur, de première lettre et de non-répétition.
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Le premier caractère est une lettre : 26 choix.
Pour le deuxième caractère, il reste 25 lettres et 10 chiffres, soit 35 choix.
Pour le troisième, il reste 34 caractères possibles, puis 33 pour le quatrième, car aucun caractère ne peut être répété.
Le nombre total est donc 26 × 35 × 34 × 33.
Calcul : 35 × 34 = 1190 ; 1190 × 33 = 39 270 ; puis 26 × 39 270 = 1 021 020.
Il y a 1 021 020 codes possibles sans imposer la présence d'un chiffre.
2. Calculer le nombre de codes contenant au moins un chiffre, puis expliquer pourquoi le calcul 26 × 10 × 35 × 34 est incorrect.
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On utilise le complément : les codes sans aucun chiffre sont composés uniquement de lettres. Le premier a 26 choix, puis 25, 24 et 23 : 26 × 25 × 24 × 23 = 358 800.
Ainsi, le nombre de codes avec au moins un chiffre est 1 021 020 - 358 800 = 662 220.
Le calcul 26 × 10 × 35 × 34 est incorrect car il fixe un chiffre à une place implicite et surcompte les codes contenant deux ou trois chiffres. Par exemple, un code avec deux chiffres est compté autant de fois qu'il y a de façons de choisir « le » chiffre obligatoire. Pour vérifier, on peut compter par cas : exactement 1 chiffre : 3 × 10 × 26 × 25 × 24 = 468 000 ; exactement 2 chiffres : 3 × 90 × 26 × 25 = 175 500 ; exactement 3 chiffres : 720 × 26 = 18 720. La somme vaut bien 662 220.
3. Calculer la probabilité qu'un code respectant les trois premières contraintes contienne au moins un chiffre. Arrondir à 0,001.
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L'univers est l'ensemble des 1 021 020 codes sans la contrainte de chiffre, supposés équiprobables. Les codes favorables sont ceux contenant au moins un chiffre : 662 220.
La probabilité vaut donc P = 662 220 / 1 021 020.
Calcul : 662 220 / 1 021 020 ≈ 0,6486, soit environ 0,649.
Il y a donc environ 64,9 % de codes contenant au moins un chiffre. On peut aussi remarquer que la probabilité de n'avoir que des lettres est 358 800 / 1 021 020 ≈ 0,3514, et que 1 - 0,3514 ≈ 0,6486.