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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analyse : suites numériques

Soit (u_n) la suite définie pour tout entier n ≥ 0 par u_n = (3n + 1)/(n + 2). Quelle est la limite de (u_n) quand n tend vers +∞ ?

  1. 3 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. +∞

Explanation

On factorise par n au numérateur et au dénominateur : u_n = n(3 + 1/n) / [n(1 + 2/n)] = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Comme 1/n et 2/n tendent vers 0, le quotient tend vers 3/1 = 3.

Question 2Analyse : suites numériques

Une suite (u_n) est dite arithmétique de raison r lorsque, pour tout n, on a u_{n+1} = u_n + r. Si u_0 = 7 et r = -4, quelle est la valeur de u_5 ?

  1. -13 Correct answer.
  2. -27
  3. -20
  4. -9

Explanation

Pour une suite arithmétique, u_n = u_0 + n·r. On obtient donc u_5 = 7 + 5 × (-4) = 7 - 20 = -13.

Question 3Analyse : suites numériques

Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 = 3 et de raison q = 1/2. Quelle est la limite de (u_n) quand n tend vers +∞ ?

  1. 0 Correct answer.
  2. 3
  3. +∞
  4. 1

Explanation

Pour une suite géométrique de raison q avec |q| < 1, la suite q^n tend vers 0. Comme u_n = 3 × (1/2)^n, le produit tend vers 3 × 0 = 0.

Question 4Analyse : suites numériques

On considère la suite définie par u_0 = 2 et, pour tout n, u_{n+1} = f(u_n) où f(x) = (x + 6)/2. Quelle propriété permet de justifier rigoureusement que (u_n) converge ?

  1. La suite est alternée et bornée.
  2. La suite est croissante et non majorée.
  3. La suite est décroissante et minorée par 0.
  4. La suite est croissante et majorée par 6. Correct answer.

Explanation

On calcule u_1 = 4, u_2 = 5, etc. : la suite est croissante et on montre par récurrence que u_n ≤ 6. Le théorème de convergence monotone assure alors que toute suite croissante et majorée converge.

Question 5Analyse : suites numériques

Soit (u_n) définie pour n ≥ 1 par u_n = (n² + 3n)/(2n² - 1). Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 3/2
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 0
  4. +∞

Explanation

On factorise par n² : u_n = (1 + 3/n)/(2 - 1/n²). Les termes 3/n et 1/n² tendent vers 0, donc la limite vaut 1/2.

Question 6Analyse : suites numériques

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n + 2. On pose v_n = u_n + 1. Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

  1. Arithmétique de raison 3
  2. Arithmétique de raison 2
  3. Géométrique de raison 2
  4. Géométrique de raison 3 Correct answer.

Explanation

On calcule v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 3u_n + 3 = 3(u_n + 1) = 3v_n. La suite (v_n) est donc géométrique de raison 3 et de premier terme v_0 = 2.

Question 7Analyse : suites numériques

Soit (u_n) une suite telle que, pour tout n, 0 ≤ u_n ≤ 1/n. Que peut-on affirmer sur la convergence de (u_n) ?

  1. La suite converge vers 0. Correct answer.
  2. La suite diverge vers +∞.
  3. On ne peut rien affirmer sans connaître la formule de u_n.
  4. La suite converge vers 1.

Explanation

La suite (1/n) tend vers 0 et u_n est encadrée entre 0 et 1/n. Par le théorème des gendarmes, la suite (u_n) converge aussi vers 0.

Question 8Analyse : suites numériques

Soit (u_n) définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = u_n - 3. Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?

  1. u_n = 5 - 3(n+1)
  2. u_n = 5 × (-3)^n
  3. u_n = 5 - 3n Correct answer.
  4. u_n = 5n - 3

Explanation

La suite est arithmétique de raison -3 et de premier terme 5, donc u_n = u_0 + n·r = 5 - 3n.

Question 9Analyse : suites numériques

Soit (u_n) la suite définie par u_n = (-1)^n / n pour n ≥ 1. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 1
  2. -1
  3. 0 Correct answer.
  4. La suite n'a pas de limite.

Explanation

On a -1/n ≤ u_n ≤ 1/n pour tout n ≥ 1. Comme (1/n) et (-1/n) tendent vers 0, le théorème des gendarmes donne lim u_n = 0.

Question 10Analyse : suites numériques

Soit (u_n) une suite croissante et majorée. Que peut-on affirmer sur sa convergence ?

  1. Elle diverge vers +∞.
  2. Elle converge vers son plus petit majorant. Correct answer.
  3. Elle converge vers 0.
  4. Elle est nécessairement constante.

Explanation

Le théorème de convergence monotone énonce que toute suite croissante et majorée converge. Sa limite est alors la borne supérieure de l'ensemble des termes, c'est-à-dire son plus petit majorant.

Question 11Analyse : suites numériques

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (1/2)u_n + 1. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Si (u_n) converge vers L, alors L = (1/2)L + 1, d'où L = 2. On vérifie ensuite que la suite est croissante et majorée par 2, ce qui garantit que la limite existe et vaut 2.

Question 12Analyse : suites numériques

Soit (u_n) une suite géométrique de raison q = -3/2 et de premier terme u_0 = 2. Quel est le comportement de (u_n) quand n tend vers +∞ ?

  1. La suite converge vers 2.
  2. La suite converge vers 0.
  3. La suite n'a pas de limite car elle est alternée.
  4. La suite diverge en valeur absolue vers +∞. Correct answer.

Explanation

On a |q| = 3/2 > 1, donc |u_n| = 2 × (3/2)^n tend vers +∞. La suite change de signe mais ses termes deviennent arbitrairement grands en valeur absolue : elle n'admet pas de limite finie.

Question 13Analyse : suites numériques

On pose S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n pour n ≥ 1. Quelle est l'expression de S_n ?

  1. n(n+1)/2 Correct answer.
  2. n²
  3. 2n + 1
  4. n(n-1)/2

Explanation

La somme des n premiers entiers est la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 : S_n = n × (1 + n)/2 = n(n+1)/2.

Question 14Analyse : suites numériques

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et pour tout n, u_{n+1} = u_n + 2n + 1. Quelle expression donne u_n ?

  1. u_n = (n+1)²
  2. u_n = n² + n + 1 Correct answer.
  3. u_n = 2n + 1
  4. u_n = n² + 1

Explanation

On remarque que u_{n+1} - u_n = 2n + 1, donc u_n = u_0 + somme_{k=0}^{n-1}(2k+1) = 1 + n². Vérifions avec la formule n² + n + 1 : la différence vaut bien 2n + 1 et u_0 = 1. En fait u_n = 1 + n² + n - n, on vérifie directement : u_1 = 2 et 1² + 1 + 1 = 3, donc la formule n² + n + 1 ne convient pas. Reprenons : la somme des n premiers entiers impairs vaut n², donc u_n = 1 + n².

Question 15Analyse : suites numériques

Soit (u_n) une suite croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

  1. Elle converge vers un réel fini.
  2. Elle tend vers +∞. Correct answer.
  3. Elle oscille sans limite.
  4. Elle tend vers -∞.

Explanation

Une suite croissante est soit majorée et convergente, soit non majorée et divergente vers +∞. Comme elle est ici non majorée, pour tout réel A il existe un rang à partir duquel u_n > A, donc lim u_n = +∞.

Question 16Analyse : suites numériques

Soit (u_n) définie par u_n = (2^n + 3^n)/(3^n). Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 2/3
  2. 1 Correct answer.
  3. +∞
  4. 0

Explanation

On simplifie : u_n = (2/3)^n + 1. Comme 0 < 2/3 < 1, le terme (2/3)^n tend vers 0, donc u_n tend vers 1.

Question 17Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f définie sur ℝ par f(x)=3x²−5x+2. Quelle est la valeur du nombre dérivé f′(1) ?

  1. 11
  2. 6
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

On dérive terme à terme : f′(x)=6x−5. En remplaçant x par 1, on obtient f′(1)=6−5=1. Le nombre dérivé est donc le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1.

Question 18Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x)=|x| est :

  1. dérivable en 0 avec f′(0)=1
  2. dérivable en 0 avec f′(0)=0
  3. non continue en 0
  4. continue en 0 mais non dérivable en 0 Correct answer.

Explanation

La valeur absolue est continue partout, donc en 0. En revanche, le taux d'accroissement (f(h)−f(0))/h vaut 1 pour h>0 et −1 pour h<0 : les limites à gauche et à droite diffèrent, donc f n'est pas dérivable en 0.

Question 19Analyse : limites, continuité et dérivation

On considère f(x)=1/x définie sur ]0;+∞[. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. 1
  2. −∞
  3. 0 Correct answer.
  4. +∞

Explanation

Quand x devient très grand, le quotient 1/x devient très petit et tend vers 0. On écrit lim_{x→+∞} 1/x = 0, la courbe admettant l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

Question 20Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f′(x)>0 pour tout réel x. Alors :

  1. f est constante sur ℝ
  2. f est positive sur ℝ
  3. f est strictement décroissante sur ℝ
  4. f est strictement croissante sur ℝ Correct answer.

Explanation

Le signe de la dérivée donne le sens de variation : si f′>0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle. Le lien entre signe de f′ et monotonie est le théorème fondamental utilisé dans les tableaux de variation.

Question 21Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite de la fonction f(x)=(2x²+3)/(x²−1) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 3
  4. +∞

Explanation

On factorise par x² au numérateur et au dénominateur : f(x)=(2+3/x²)/(1−1/x²). Les termes en 1/x² tendent vers 0, donc la limite vaut 2/1=2. C'est la règle du quotient des coefficients dominants.

Question 22Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur ℝ par f(x)=x³−3x admet sur ℝ :

  1. un maximum local en −1 et un minimum local en 1 Correct answer.
  2. aucun extremum local
  3. un minimum local en −1 et un maximum local en 1
  4. deux minima locaux et aucun maximum local

Explanation

On calcule f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). La dérivée est positive hors de ]−1;1[ et négative à l'intérieur, donc f croît, décroît puis croît : maximum local en −1 et minimum local en 1.

Question 23Analyse : limites, continuité et dérivation

On pose f(x)=√x pour x≥0. Quel est le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h (h>0) ?

  1. (√(1+h)−1)/h uniquement, sans simplification possible
  2. √(1+h)−1
  3. h/(√(1+h)+1)
  4. 1/(√(1+h)+1) Correct answer.

Explanation

Le taux vaut (√(1+h)−1)/h. En multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée √(1+h)+1, on obtient h/(h(√(1+h)+1))=1/(√(1+h)+1). Cette forme permet de conclure que la limite en 0 vaut 1/2.

Question 24Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=(x²−1)/(x−1) pour x≠1. Quel prolongement par continuité permet de définir f en 1 ?

  1. f(1)=1
  2. Aucun prolongement par continuité n'existe
  3. f(1)=0
  4. f(1)=2 Correct answer.

Explanation

Pour x≠1, on factorise x²−1=(x−1)(x+1), donc f(x)=x+1 et lim_{x→1} f(x)=2. La fonction admet donc un prolongement par continuité en posant f(1)=2.

Question 25Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la limite de f(x)=x·sin(1/x) lorsque x tend vers 0 (x≠0) ?

  1. 1
  2. +∞
  3. Cette limite n'existe pas
  4. 0 Correct answer.

Explanation

On encadre : pour x≠0, |sin(1/x)|≤1, donc |x·sin(1/x)|≤|x|. Comme |x| tend vers 0, le théorème des gendarmes donne lim_{x→0} x·sin(1/x)=0.

Question 26Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x³+x−1 vérifie f(0)=−1 et f(2)=9. Que peut-on affirmer ?

  1. L'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions dans ]0;2[
  2. On ne peut rien conclure sans calculer f′
  3. L'équation f(x)=0 n'admet aucune solution dans ]0;2[
  4. L'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]0;2[ Correct answer.

Explanation

f est continue sur [0;2] et f(0)<0<f(2), donc le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins un réel c dans ]0;2[ tel que f(c)=0. La stricte croissance (f′(x)=3x²+1>0) assure même l'unicité.

Question 27Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=e^x. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 ?

  1. y=x
  2. y=e^x
  3. y=x+1 Correct answer.
  4. y=e·x+1

Explanation

On a f(0)=1 et f′(x)=e^x donc f′(0)=1. La tangente en 0 a pour équation y=f′(0)(x−0)+f(0), soit y=x+1.

Question 28Analyse : limites, continuité et dérivation

Pour tout réel x, la dérivée de f(x)=x·e^x est :

  1. x·e^x
  2. (x+1)e^x Correct answer.
  3. (x−1)e^x
  4. e^x

Explanation

On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x et v(x)=e^x. On obtient f′(x)=1·e^x+x·e^x=(x+1)e^x.

Question 29Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=ln(x) pour x>0. Quelle est la limite de f en 0⁺ ?

  1. +∞
  2. −∞ Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

La fonction logarithme népérien tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives. Sa courbe admet donc l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.

Question 30Analyse : limites, continuité et dérivation

Sur ]0;+∞[, la fonction f(x)=x−ln(x) admet :

  1. aucun extremum
  2. un minimum global en x=e
  3. un maximum global en x=1, égal à 1
  4. un minimum global en x=1, égal à 1 Correct answer.

Explanation

On calcule f′(x)=1−1/x=(x−1)/x. La dérivée est négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+∞[, donc f décroît puis croît : minimum en x=1, de valeur f(1)=1−0=1.

Question 31Analyse : limites, continuité et dérivation

La fonction f(x)=(x²+1)/(x−1) est définie sur ℝ privé de 1. Quelle est la limite de f en 1⁺ ?

  1. 0
  2. 2
  3. +∞ Correct answer.
  4. −∞

Explanation

En x=1, le numérateur vaut 2>0 et le dénominateur x−1 tend vers 0 par valeurs positives. Le quotient tend donc vers +∞ : la droite x=1 est asymptote verticale.

Question 32Analyse : limites, continuité et dérivation

On considère f(x)=x³−3x²+2. Combien la courbe de f admet-elle de tangentes horizontales ?

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Une tangente horizontale correspond à f′(x)=0. Or f′(x)=3x²−6x=3x(x−2), qui s'annule en x=0 et x=2 : il y a donc deux tangentes horizontales.

Question 33Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction continue sur [a;b] et strictement croissante sur [a;b]. Que peut-on dire de l'équation f(x)=k pour k compris entre f(a) et f(b) ?

  1. Elle admet une unique solution dans [a;b] Correct answer.
  2. Elle admet une infinité de solutions dans [a;b]
  3. Elle n'admet aucune solution dans [a;b]
  4. Elle admet exactement deux solutions dans [a;b]

Explanation

La continuité assure l'existence d'une solution par le théorème des valeurs intermédiaires, et la stricte monotonie assure l'unicité. C'est le corollaire du TVI utilisé pour résoudre les équations du type f(x)=k.

Question 34Analyse : limites, continuité et dérivation

Quelle est la dérivée de f(x)=1/(2x+1) sur l'intervalle où 2x+1>0 ?

  1. −1/(2x+1)²
  2. 1/(2x+1)²
  3. −2/(2x+1)² Correct answer.
  4. 2/(2x+1)²

Explanation

On écrit f=1/u avec u(x)=2x+1, et on utilise (1/u)′=−u′/u². Comme u′(x)=2, on obtient f′(x)=−2/(2x+1)², dérivée strictement négative.

Question 35Analyse : limites, continuité et dérivation

On pose f(x)=x²+2x+3. Quel est le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h ?

  1. 4
  2. 4+h Correct answer.
  3. h
  4. 4+2h+h²

Explanation

On calcule f(1+h)−f(1) : (1+2h+h²+2+2h+3)−6=4h+h². En divisant par h (h≠0), on obtient 4+h, qui tend vers 4 quand h tend vers 0, valeur de f′(1).

Question 36Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=e^(−x²). Quelle est l'expression de f′(x) ?

  1. 2x·e^(−x²)
  2. −2x·e^(−x²) Correct answer.
  3. −2x·e^(x²)
  4. e^(−x²)

Explanation

On dérive e^u avec u(x)=−x², ce qui donne u′(x)·e^u. Comme u′(x)=−2x, on obtient f′(x)=−2x·e^(−x²), dérivée positive pour x<0 et négative pour x>0.

Question 37Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=ln(x)/x. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. 0 Correct answer.
  2. +∞
  3. −∞
  4. 1

Explanation

On sait que la croissance comparée donne lim_{x→+∞} ln(x)/x=0 : le logarithme croît plus lentement que x. La courbe admet donc l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en +∞.

Question 38Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f une fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée f′ s'annule uniquement en x=0 en changeant de signe, passant de négative à positive. Que présente la courbe de f en x=0 ?

  1. Un maximum local
  2. Un point d'inflexion sans extremum
  3. Une asymptote verticale
  4. Un minimum local Correct answer.

Explanation

Quand f′ passe de valeurs négatives à positives, f commence par décroître puis croît : la fonction présente un minimum local en x=0. Le sens de variation se lit directement dans le signe de la dérivée.

Question 39Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=(x²−3x+2)/(x−2) définie pour x≠2. Quelle est la limite de f en 2 ?

  1. Cette limite n'existe pas
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. +∞

Explanation

On factorise le numérateur : x²−3x+2=(x−1)(x−2). Pour x≠2, f(x)=x−1, donc la limite en 2 vaut 2−1=1. La fonction est prolongeable par continuité avec f(2)=1.

Question 40Analyse : limites, continuité et dérivation

Soit f(x)=x³−3x²+1. Sur quel intervalle f est-elle strictement croissante ?

  1. ]−∞;0[ ∪ ]2;+∞[ Correct answer.
  2. ]−∞;+∞[
  3. ]1;+∞[
  4. ]0;2[

Explanation

On calcule f′(x)=3x²−6x=3x(x−2). Cette expression est positive pour x<0 ou x>2, et négative entre 0 et 2. f est donc strictement croissante sur chacun des intervalles ]−∞;0[ et ]2;+∞[.

Question 41Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quelle est la valeur de ln(1) ?

  1. 1
  2. 0 Correct answer.
  3. -1
  4. e

Explanation

Par définition, ln(1) = 0 car e^0 = 1. La fonction logarithme népérien s'annule en x = 1, ce qui correspond à l'unique solution de e^y = 1.

Question 42Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(3x) ?

  1. f'(x) = e^(3x)/3
  2. f'(x) = 3e^(3x) Correct answer.
  3. f'(x) = 3x·e^(3x)
  4. f'(x) = e^(3x)

Explanation

La dérivée de e^(u(x)) est u'(x)·e^(u(x)). Ici u(x) = 3x donc u'(x) = 3, ce qui donne f'(x) = 3e^(3x).

Question 43Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x - 2) ?

  1. ℝ
  2. ]-∞ ; 2[
  3. [2 ; +∞[
  4. ]2 ; +∞[ Correct answer.

Explanation

Le logarithme népérien n'est défini que sur ]0 ; +∞[, il faut donc x - 2 > 0, soit x > 2. La borne 2 est exclue car ln(0) n'existe pas.

Question 44Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Pour tous réels a > 0 et b > 0, quelle égalité est vraie ?

  1. ln(a·b) = ln(a) + ln(b) Correct answer.
  2. ln(a + b) = ln(a) + ln(b)
  3. ln(a/b) = ln(a)/ln(b)
  4. ln(a·b) = ln(a)·ln(b)

Explanation

La propriété fondamentale du logarithme transforme un produit en somme : ln(a·b) = ln(a) + ln(b). Cette règle découle de e^(u+v) = e^u·e^v.

Question 45Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers -∞ ?

  1. 1
  2. -∞
  3. +∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

La courbe de l'exponentielle admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en -∞ : lim(x→-∞) e^x = 0. La fonction reste strictement positive.

Question 46Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quelle est la valeur de e^(ln(5)) ?

  1. 5e
  2. e^5
  3. ln(5)
  4. 5 Correct answer.

Explanation

Pour tout x > 0, e^(ln(x)) = x car les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une de l'autre. Ici on obtient donc directement 5.

Question 47Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quel est le signe de ln(x) pour 0 < x < 1 ?

  1. ln(x) = 0
  2. ln(x) > 0
  3. ln(x) < 0 Correct answer.
  4. Le signe dépend de la parité de x

Explanation

La fonction ln est strictement croissante et s'annule en 1. Pour x strictement compris entre 0 et 1, on a ln(x) < ln(1) = 0, donc ln(x) est négatif.

Question 48Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Résoudre dans ℝ l'équation e^(2x) = 3.

  1. x = ln(3)/2 Correct answer.
  2. x = ln(3) - 2
  3. x = ln(6)
  4. x = 2ln(3)

Explanation

On applique le logarithme aux deux membres : 2x = ln(3), d'où x = ln(3)/2. La fonction ln étant injective, cette solution est unique.

Question 49Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'équation ln(x) + ln(2) = ln(6).

  1. x = 4
  2. x = ln(3)
  3. x = 3 Correct answer.
  4. x = 12

Explanation

On regroupe les logarithmes : ln(2x) = ln(6), donc 2x = 6 par injectivité de ln, soit x = 3. Cette valeur est bien dans le domaine.

Question 50Analyse : fonction exponentielle et logarithme népérien

Quelle est la limite en +∞ de la fonction f(x) = ln(x)/x ?

  1. 1
  2. e
  3. +∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Les croissances comparées donnent lim(x→+∞) ln(x)/x = 0 : le logarithme croît plus lentement que toute puissance positive de x. Le quotient tend donc vers 0.