Suites numériques : convergence, récurrence et suites auxiliaires
Le domaine des suites numériques évalue la capacité à décrire une suite, calculer ses termes, étudier sa monotonie et déterminer sa limite. Les questions combinent souvent une suite auxiliaire géométrique, un raisonnement par récurrence et une interprétation graphique ou algorithmique. Il faut savoir passer d’une formule explicite à une relation de récurrence, et inversement.
Règles et concepts essentiels
- Une suite arithmétique vérifie u_(n+1)=u_n+r ; son terme général est u_n=u_0+n r. Une suite géométrique vérifie v_(n+1)=q v_n ; son terme général est v_n=v_0 q^n, avec q réel non nul si on divise.
- La convergence d’une suite géométrique dépend de q : limite 0 si |q|<1, constante v_0 si q=1, divergence si |q|>1 ; pour q=-1, la suite n’a pas de limite.
- Pour une suite récurrente u_(n+1)=f(u_n), une suite auxiliaire v_n=u_n-l, où l est un point fixe f(l)=l, peut devenir géométrique. On justifie alors v_(n+1)=f(u_n)-l.
- Le théorème de convergence monotone s’applique à une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée. La borne fournit la limite, pas nécessairement une valeur atteinte.
- Une récurrence exige une initialisation vérifiée et une hérédité rédigée avec un entier n quelconque.
Exemple rédigé
Soit u_0=2 et u_(n+1)=0,5u_n+3. On cherche la limite. Le point fixe l vérifie l=0,5l+3, donc l=6. On pose v_n=u_n-6. Alors v_(n+1)=u_(n+1)-6=0,5u_n+3-6=0,5(u_n-6)=0,5v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison 0,5 et v_0=-4. Donc v_n=-4(0,5)^n, puis u_n=6-4(0,5)^n. Comme |0,5|<1, (0,5)^n tend vers 0 et u_n tend vers 6. De plus u_(n+1)-u_n=3-0,5u_n ; comme u_n<6, cette différence est positive, donc la suite est croissante et converge vers 6.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire qu’une suite est géométrique parce que la relation contient un coefficient multiplicatif : il faut vérifier un quotient constant, et traiter le cas de termes nuls.
- Oublier que la limite d’une suite géométrique de raison q=-1 n’existe pas, même si la suite reste bornée.
- Utiliser la convergence monotone sans prouver la monotonie et la borne du bon côté.
- Confondre u_(n+1) et u_n+1 dans un calcul d’indice.
- Dans une récurrence, initialiser seulement au rang 1 alors que l’énoncé commence à n=0.