Loi binomiale et échantillonnage
Le domaine de la loi binomiale et de l’échantillonnage porte sur les schémas de Bernoulli, le calcul de probabilités binomiales et l’interprétation d’un intervalle de fluctuation. Les exercices demandent de vérifier les conditions d’application, de calculer une probabilité exacte ou cumulée, puis de prendre une décision à partir d’un échantillon.
Règles et concepts essentiels
- Une variable X suit une loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès p.
- Pour k entier entre 0 et n, P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k). On utilise le complément pour « au moins un » : P(X>=1)=1-P(X=0).
- L’espérance est E(X)=np, la variance V(X)=np(1-p). L’écart type est la racine carrée de la variance.
- Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour une proportion p et une taille n est approximativement p plus ou moins 1,96 racine de p(1-p)/n, sous conditions usuelles sur n et p.
- Pour un échantillon de taille n, la fréquence observée f permet de décider si un résultat est compatible avec la proportion théorique : on regarde si f appartient à l’intervalle de fluctuation.
- Les conditions d’indépendance et d’identité des épreuves doivent être explicitées : sans elles, la loi binomiale n’est pas justifiée.
Exemple rédigé
Une machine produit des pièces dont 20 % sont défectueuses. On prélève 10 pièces au hasard, assimilées à un tirage avec remise. Soit X le nombre de pièces défectueuses. On a X qui suit B(10 ; 0,2). Calculer la probabilité d’avoir au moins une pièce défectueuse revient à P(X>=1)=1-P(X=0). Or P(X=0)=C(10,0) fois 0,2^0 fois 0,8^10=0,8^10, soit environ 0,1074. Donc P(X>=1) est environ 0,8926. On peut aussi noter E(X)=10 fois 0,2=2 : en moyenne, l’échantillon contient 2 pièces défectueuses, mais la probabilité d’en avoir au moins une est nettement plus grande que 0,2.
Pièges qui coûtent des points
- Appliquer la loi binomiale sans vérifier l’indépendance et l’identité des épreuves.
- Confondre P(X=k) et P(X<=k), ou oublier le coefficient C(n,k).
- Calculer « au moins un » en additionnant les probabilités au lieu d’utiliser le complément.
- Confondre variance np(1-p) et écart type.
- Utiliser un intervalle de fluctuation sans vérifier les conditions ni le seuil demandé.