Raisonnement, démonstration et résolution de problèmes transversaux
Le domaine raisonnement, démonstration et résolution de problèmes transversaux évalue la rigueur logique : choisir une méthode de preuve, manipuler les quantificateurs et rédiger une démonstration complète. Les questions peuvent croiser suites, fonctions, géométrie, probabilités ou arithmétique, mais la difficulté principale reste la structure du raisonnement.
Règles et concepts essentiels
- Une implication « si A alors B » se démontre directement, par contraposée (non B implique non A) ou par l’absurde (supposer A et non B et aboutir à une contradiction).
- La contraposée est équivalente à l’implication ; la réciproque « si B alors A » ne l’est pas. Un énoncé peut être vrai et sa réciproque fausse.
- Pour prouver « pour tout x, P(x) », on fixe un x quelconque et on démontre P(x). Pour réfuter, un seul contre-exemple suffit. Pour prouver « il existe x tel que P(x) », une construction explicite suffit.
- Le raisonnement par récurrence comporte une initialisation, une hypothèse de récurrence au rang n et une démonstration de l’hérédité au rang n+1. L’hérédité doit être valable pour tout n à partir du rang initial.
- La disjonction de cas est utile lorsque la situation se sépare en plusieurs possibilités exhaustives, par exemple selon la parité d’un entier.
- Une démonstration doit conclure explicitement en revenant à l’énoncé initial, sans laisser une hypothèse non utilisée ou un cas oublié.
Exemple rédigé
Montrer que pour tout entier naturel n, le produit n(n+1) est pair. On raisonne par disjonction de cas selon la parité de n. Si n est pair, il existe un entier k tel que n=2k. Alors n(n+1)=2k(n+1), qui est un multiple de 2, donc pair. Si n est impair, il existe un entier k tel que n=2k+1. Alors n+1=2k+2=2(k+1), donc n(n+1)=n fois 2(k+1), encore un multiple de 2. Les deux cas possibles sont traités et le produit est pair dans tous les cas. La conclusion vaut pour tout entier naturel n.
Pièges qui coûtent des points
- Démontrer la réciproque au lieu de l’implication demandée.
- Utiliser un exemple pour prouver un énoncé universel, ou un contre-exemple pour prouver une existence.
- Oublier l’initialisation ou écrire une hérédité qui ne fonctionne que pour un rang particulier.
- Ne pas traiter tous les cas d’une disjonction, notamment le cas zéro ou le cas d’égalité.
- Conclure sans revenir aux notations et à l’hypothèse de l’énoncé.