Limites, continuité et dérivation
Le domaine limites, continuité et dérivation porte sur le comportement local et global d’une fonction. L’épreuve demande de calculer des limites, justifier une continuité, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, dériver une expression et exploiter le signe de la dérivée pour dresser un tableau de variations.
Règles et concepts essentiels
- Pour une limite en +infini ou -infini, on factorise par le terme dominant. Les formes indéterminées usuelles sont « infini - infini », « 0 fois infini », « infini sur infini » et « 0 sur 0 ».
- Une fonction est continue en a si la limite en a existe et vaut f(a). Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique sur un intervalle fermé [a,b] lorsque f est continue : si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l’équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]a,b[.
- Pour garantir l’unicité d’une solution, on ajoute la stricte monotonie de f sur l’intervalle.
- La dérivée mesure le coefficient directeur de la tangente. La tangente au point d’abscisse a a pour équation y=f’(a)(x-a)+f(a).
- Le signe de f’ donne les variations de f. Un changement de signe de f’ peut produire un extremum local ; une dérivée nulle ne suffit pas, comme le montre x^3 en 0.
- Une fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse : la valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable.
Exemple rédigé
Soit f(x)=x^3-3x+1 sur [0,1]. On a f(0)=1 et f(1)=-1. La fonction f est polynômiale, donc continue sur [0,1]. Sa dérivée est f’(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). Sur ]0,1[, x-1<0 et x+1>0, donc f’(x)<0. Ainsi f est strictement décroissante sur [0,1], et elle passe continûment de 1 à -1. Par le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 admet une unique solution alpha dans ]0,1[. Le tableau de variations confirme que f décroît de 1 à -1, sans changer de sens.
Pièges qui coûtent des points
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sans vérifier la continuité sur l’intervalle fermé.
- Affirmer l’unicité de la racine sans justifier la stricte monotonie.
- Confondre le signe de f et le signe de f’ dans un tableau de variations.
- Écrire une tangente sans le point de contact ou avec un signe inversé.
- Conclure qu’une dérivée nulle implique toujours un extremum.