Fonction exponentielle et logarithme népérien
Le domaine de la fonction exponentielle et du logarithme népérien teste la maîtrise des propriétés algébriques, des dérivées, des limites et des résolutions d’équations ou d’inéquations. Les exercices mélangent souvent exp et ln dans une même expression, avec un domaine de validité à contrôler dès le départ.
Règles et concepts essentiels
- La fonction exp est définie sur R, strictement croissante et positive. Elle vérifie exp’=exp, exp(0)=1, exp(x) tend vers 0 en -infini et vers +infini en +infini.
- La fonction ln est définie sur ]0,+infini[, strictement croissante, avec ln’(x)=1/x, ln(1)=0. Elle tend vers -infini en 0+ et vers +infini en +infini.
- Propriétés algébriques : ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a-ln b, ln(a^r)=r ln a pour a>0 ; exp(x+y)=exp(x)exp(y), exp(x-y)=exp(x)/exp(y).
- Relations réciproques : pour tout réel x, ln(exp(x))=x ; pour tout x>0, exp(ln x)=x.
- Croissances comparées : x^n/e^x tend vers 0 en +infini ; e^x/x^n tend vers +infini ; ln x/x tend vers 0 ; x ln x tend vers 0 en 0+.
- Les équations s’appuient sur l’injectivité : exp A=exp B équivaut à A=B ; ln A=ln B équivaut à A=B avec A,B>0. Pour les inéquations, on conserve l’ordre car exp et ln sont croissantes.
Exemple rédigé
Résoudre e^(2x)-3e^x+2=0. On pose X=e^x, avec X>0. L’équation devient X^2-3X+2=0, dont le discriminant vaut 1 et les racines sont 1 et 2. Les deux valeurs sont positives, donc acceptables. On résout e^x=1, soit x=0, puis e^x=2, soit x=ln 2. L’ensemble des solutions est {0 ; ln 2}. La vérification est immédiate : e^0=1 et e^(ln 2)=2 annulent bien l’expression initiale.
Pièges qui coûtent des points
- Résoudre une équation contenant ln sans imposer les arguments strictement positifs.
- Oublier que e^x>0 et rejeter à tort une racine positive de l’équation auxiliaire, ou accepter une racine négative.
- Écrire ln(a+b)=ln a+ln b, qui est faux en général.
- Se tromper sur le sens d’une inégalité en composant par ln ou exp.
- Confondre la limite de ln x en 0+, qui est -infini, avec une valeur finie.