Intégration et primitives
Le domaine intégration et primitives vérifie la capacité à reconnaître une primitive, calculer une intégrale, interpréter une aire et utiliser les techniques de linéarité ou d’intégration par parties. Les énoncés demandent souvent une valeur exacte, puis une valeur approchée ou une interprétation graphique.
Règles et concepts essentiels
- Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F’=f. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
- Primitives usuelles : x^n donne x^(n+1)/(n+1) pour n différent de -1 ; 1/x donne ln|x| ; e^(ax) donne (1/a)e^(ax) ; cos(ax) donne (1/a)sin(ax).
- Linéarité : une primitive de af+bg est aF+bG. On primitive terme à terme après avoir développé si nécessaire.
- Pour f continue sur [a,b] et F une primitive de f, l’intégrale de a à b de f vaut F(b)-F(a).
- Si f est positive sur [a,b], l’intégrale mesure l’aire sous la courbe. Si f change de signe, l’intégrale est une somme algébrique et peut être inférieure à l’aire géométrique.
- Intégration par parties : pour u et v dérivables à dérivées continues, intégrale de u v’ = [u v] - intégrale de u’ v. On choisit u pour le simplifier et v’ pour l’intégrer facilement.
- La valeur moyenne de f sur [a,b] est (1/(b-a)) fois l’intégrale de a à b de f.
Exemple rédigé
Calculer I=intégrale de 0 à 1 de x e^x dx. On pose u(x)=x et v’(x)=e^x, donc u’(x)=1 et v(x)=e^x. L’intégration par parties donne I=[x e^x] de 0 à 1 moins l’intégrale de 0 à 1 de e^x dx. Donc I=(1 fois e^1 - 0) - (e^1 - e^0)=e-(e-1)=1. La valeur exacte est 1. On peut vérifier que la fonction x e^x est positive sur [0,1], donc I est bien une aire positive, ce qui est cohérent.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier le facteur 1/a dans une primitive de e^(ax) ou de cos(ax).
- Calculer F(a)-F(b) au lieu de F(b)-F(a).
- Croire qu’une intégrale est toujours une aire positive alors que la fonction change de signe.
- Oublier la constante dans une primitive, puis l’utiliser à tort dans une intégrale définie.
- Choisir u et v’ sans anticipier que l’intégrale restante est plus simple.