Équations différentielles linéaires
Le domaine des équations différentielles linéaires concerne les équations du type y’=ay et y’=ay+b, avec a et b réels. L’objectif est de trouver la solution générale, puis la solution particulière vérifiant une condition initiale, et d’interpréter le comportement asymptotique.
Règles et concepts essentiels
- Les solutions de y’=ay sont les fonctions y(x)=C e^(ax), où C est une constante réelle.
- Pour y’=ay+b avec a différent de 0, une solution constante particulière est y_p=-b/a. La solution générale est y(x)=C e^(ax)-b/a.
- La condition initiale y(x_0)=y_0 détermine C de manière unique. On remplace x par x_0 et y par y_0, puis on résout une équation du premier degré en C.
- Si a<0, le terme C e^(ax) tend vers 0 en +infini et la solution tend vers la solution constante -b/a. Si a>0, le comportement dépend du signe de C.
- Une équation différentielle ne se résout pas en dérivant une expression au hasard : on identifie d’abord le type, puis on applique la formule adaptée.
- La vérification consiste à dériver la solution proposée et à contrôler à la fois l’équation et la condition initiale.
Exemple rédigé
Résoudre y’=2y-4 avec y(0)=1. L’équation est de la forme y’=ay+b avec a=2 et b=-4. Une solution constante est y_p=-b/a=4/2=2. La solution générale est donc y(x)=C e^(2x)+2. La condition y(0)=1 donne C e^0+2=1, donc C+2=1 et C=-1. La solution cherchée est y(x)=2-e^(2x). Vérification : y’(x)=-2e^(2x), tandis que 2y-4=2(2-e^(2x))-4=-2e^(2x). La condition initiale est bien y(0)=2-1=1.
Pièges qui coûtent des points
- Se tromper de signe dans la solution constante : pour y’=ay+b, elle vaut -b/a, pas b/a.
- Écrire y(x)=C e^(ax)+b au lieu de C e^(ax)-b/a.
- Déterminer C avant d’avoir écrit la solution générale complète.
- Oublier de vérifier la condition initiale après avoir trouvé C.
- Confondre le comportement en +infini avec le signe de C lorsque a>0.