Combinatoire et dénombrement
Le domaine combinatoire et dénombrement évalue la capacité à compter des objets sans les lister, en choisissant le bon modèle : permutation, arrangement, combinaison ou complément. Les exercices portent sur des mots, des codes, des délégations ou des tirages, avec ou sans ordre et avec ou sans répétition.
Règles et concepts essentiels
- Principe multiplicatif : si une première étape a m issues et une seconde n issues, le couple a m fois n issues. Principe additif : pour des cas disjoints, on additionne les nombres de possibilités.
- Une permutation de n objets distincts est un ordre sur ces n objets : il y en a n!. Si des objets sont identiques, on divise par les factorielles des répétitions.
- Un arrangement de k objets parmi n, sans répétition et avec ordre, vaut n!/(n-k)!. Une combinaison de k objets parmi n, sans ordre, vaut C(n,k)=n!/(k!(n-k)!).
- La formule du binôme donne (a+b)^n= somme des C(n,k)a^k b^(n-k). La relation de Pascal C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) permet de construire le triangle.
- Pour un événement « au moins un », on passe souvent par le complément : nombre total moins nombre de cas où l’événement ne se produit pas.
- Il faut identifier si l’ordre intervient et si les répétitions sont autorisées avant tout calcul.
Exemple rédigé
Combien d’anagrammes possède le mot BANANE ? Le mot comporte 6 lettres : B, A, N, A, N, E. Les lettres A et N apparaissent chacune deux fois, les autres une fois. Si les six lettres étaient distinctes, il y aurait 6!=720 permutations. Mais échanger les deux A ne change pas le mot, et échanger les deux N non plus. On divise donc par 2! pour les A et par 2! pour les N. Le nombre d’anagrammes est 6!/(2!2!)=720/4=180. Ce raisonnement évite de compter plusieurs fois le même mot et illustre la division par les factorielles des lettres répétées.
Pièges qui coûtent des points
- Utiliser un arrangement alors que l’ordre n’a pas d’importance, ou une combinaison alors que l’ordre compte.
- Oublier de diviser par les factorielles des éléments identiques dans un anagramme.
- Additionner des cas qui ne sont pas disjoints.
- Traiter « au moins un » par une somme interminable au lieu du complément.
- Confondre C(n,k) avec n^k, qui autorise les répétitions et l’ordre.