Vecteurs, droites et plans de l’espace
Le domaine vecteurs, droites et plans de l’espace teste la représentation paramétrique d’une droite, l’équation cartésienne d’un plan, la colinéarité et la coplanarité. Les exercices demandent souvent de déterminer une intersection, de montrer qu’un point appartient à un plan ou de choisir entre plusieurs positions relatives.
Règles et concepts essentiels
- Un vecteur de l’espace a trois coordonnées. Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v=k u, avec u non nul.
- Une droite passant par A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur u(a,b,c) a pour représentation paramétrique x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct, avec t réel.
- Un plan a une équation cartésienne ax+by+cz+d=0, où (a,b,c) est un vecteur normal au plan. Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient l’équation.
- Pour étudier l’intersection d’une droite et d’un plan, on remplace x, y, z par leur expression paramétrique dans l’équation du plan, puis on résout en t. Une solution donne un point d’intersection ; aucune solution signifie que la droite est strictement parallèle au plan ; une infinité signifie que la droite est incluse dans le plan.
- Trois vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres, lorsque ceux-ci ne sont pas colinéaires.
- Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; sinon ils sont sécants selon une droite.
Exemple rédigé
Soit la droite D passant par A(1,0,2) et de vecteur directeur u(2,-1,1), et le plan P d’équation x+y+z=3. La droite a pour représentation paramétrique x=1+2t, y=-t, z=2+t. On remplace dans l’équation du plan : (1+2t)+(-t)+(2+t)=3+2t. L’égalité 3+2t=3 donne t=0. Le point d’intersection est donc A(1,0,2). On vérifie que A appartient bien à P : 1+0+2=3. Le vecteur normal de P est (1,1,1) et son produit scalaire avec u vaut 2-1+1=2, donc la droite n’est pas parallèle au plan : elle est sécante en A.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre vecteur directeur d’une droite et vecteur normal d’un plan.
- Oublier une coordonnée dans la représentation paramétrique.
- Résoudre l’équation en t puis ne pas reporter la valeur pour obtenir le point.
- Conclure « pas d’intersection » sans distinguer parallélisme strict et droite incluse dans le plan.
- Vérifier l’appartenance d’un point avec une seule coordonnée au lieu des trois.